第07讲 2015年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1.设 为不相等的实数,若二次函数 满足 ,则 的值是 . 2.若实数 满足 ,则 的值为 . 3.已知复数数列 满足 ,其中 为虚数单位, 表示 的共轭复数,则 的值是 . 4.在矩形 中, ,边 上(包括点 的动点 与 延长线上(包括点 的动点 满足 ,则向量 与向量 的数量积 的最小值为 . 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 6.在平面直角坐标系 中,点集 所对应的平面区域的面 积为 . 7.设 为正实数,若存在 ,使得 ,则实数 的取值范围是 . 8.对四位数 ,若 ,则称 为 类数,若 ，则称 为 类数,用 与 分别表示 类数与 类数的个数,则 的值为 . 二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9. （本题满分16分）若实数 满足 ,求 的最小值.[来源:学|科|网] 10.(本题满分20分)设 是四个有理数,使得 EMBED Equation.DSMT4 求 的值. 11.(本题满分20分)在平面直角坐标系 中, 分别是椭圆 的左,右焦点,设不经过焦点 的直线 与椭圆 交于两个不同的点 ,焦点 到直线 的距离为 .如果直线 的斜率成等差数列,求 的取值范围. 一．（本题满分40分）设 是实数,证明:可以连取 使得[来源:学科网][来源:Zxxk.Com] [来源:Z.xx.k.Com] 二、(本题满分40分)设 ,其中 是 个互不相同的有限集合 ,满足对任意 ,均有 ,若 ,证明:存在 ,使得 属于 中的至少 个集合(这里 表示有限集合 的元素个数) 三、(本题满分50分)如图, 内接于圆 为 上一点,点 在线段 上,使得 平分 ,过 三点的圆 与边 交于点 ,连结 交圆 于点 ,连结 并延长与边 交于点 ,证明: 四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数 :对任意正整数 不整除 . [来源:学_科_网Z_X_X_K] 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1.设 为不相等的实数,若二次函数 满足 ,则 的值是 .[来源:Z_xx_k.Com] 【答案】4 【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得 ，即 ，所以 2.若实数 满足 ,则 的值为 . 【答案】2 【解析】由条件知， ，反复利用此结论，并注意到 ，得 3.已知复数数列 满足 ,其中 为虚数单位, 表示 的共轭复数,则 的值是 . 【答案】2015+1007i 【解析】由已知得，对一切正整数n,有 于是 z学科xx网k 4.在矩形 中, ,边 上(包括点 的动点 与 延长线上(包括点 的动点 满足 ,则向量 与向量 的数量积 的最小值为 . 【答案】 当t= 时， 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 【答案】 【解析】设正方体为ABCD-EFGH，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有 =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能，当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为 . z学科xx网k 6.在平面直角坐标系 中,点集 所对应的平面区域的面 积为 . 【答案】24 7.设 为正实数,若存在 ,使得 ,则实数 的取值范围是 【答案】 【解析】由 知 ，而 故题目条件等价于：存在整数 ，使得 ⑴[来源:学科网ZXXK] 当 时,区间 的长度不小于 ,故必存在 满足(1)式. 当 时，注意到 故仅需考虑如下几种情况: 此时 无解； 此时有 此时有 . 综合 并注意到 亦满足条件，可知 . z学科xx网k 8.对四位数 ,若 ,则称 为 类数,若 ,则称 为 类数,用 与 分别表示 类数与 类数的个数,则 的值为 【答案】285 下面计算 对任一四位数 可取 对其中每个b， 由 及 知，a和c分别有9-b种取法，从而 因此 2、 解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应