第08讲 2016年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．设实数 满足 ，则 的取值范围是 . 2．设复数 满足 ， ，其中 是虚数单位， 分别表示 的共轭复数，则 的模为 . 3．正实数 均不等于1，若 ， ，则 的值为 . 4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 . 5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足 =90°，M为AP的中点.若AB=1，AC=2， ，则二面角M—BC—A的大小为 . 6．设函数 ，其中 是一个正整数.若对任意实数 ，均有 ，则 的最小值为 .[来源:Zxxk.Com] 7．双曲线C的方程为 ，左、右焦点分别为 、 ，过点 作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得 =90°，则 的内切圆半径是 . 8．设 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足 ，则这样的有序数组 的个数为 . 二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9．（本题满分16分）在 中，已知 .求 的最大值. [来源:学。科。网] 10．（本题满分20分）已知 是R上的奇函数， ，且对任意 ，均有 . 求 … 的值. 11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系 中，F是 轴正半轴上的一个动点.以F为焦点，O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点，Q是 轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆 均与直线OP相切于点P，且均与轴相切.求点F的坐标，使圆 与 的面积之和取到最小值. [来源:学科网ZXXK] 一、（本题满分40分）设实数 满足 . 求 的最大值.[来源:Z*xx*k.Com] 二、（本题满分40分）如图所示，在△ABC中，X,Y是直线BC上两点（X,B,C,Y顺次排列），使得BX·AC=CY·AB. 设△ACX，△ABY的外心分别为 ，直线 与AB,AC分别交于点U、V.证明：△AUV是等腰三角形. [来源:学科网] 三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间的线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值. 四、（本题满分50分）设p与p+2均是素数，p>3, 数列 定义为 ， 这里 表示不小于实数 的最小整数. 证明：对 均 有成立 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．设实数 满足 ，则 的取值范围是 .[来源:Z,xx,k.Com] 【答案】 【解析】由 可得 ，原不等式可变形为 即 ，所以 .又 ，故 .z学科xx网k 2．设复数 满足 ， ，其中 是虚数单位， 分别表示 的共轭复数，则 的模为 . 【答案】 3．正实数 均不等于1，若 ， ，则 的值为 . 【答案】 【解析】令 ， ，则[来源:学科网] ， ， 条件化为 ， ，由此可得 ，因此 . 4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 . 【答案】 5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足 =90°，M为AP的中点.若AB=1，AC=2， ，则二面角M—BC—A的大小为 . 【答案】 [来源:Zxxk.Com] 【解析】 由 =90°知，AC为底面圆的直径.设底面中心为O，则 平面ABC，易知 ，进而 . z学科xx网k 设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面中作 于点K，则由三垂线定理知 ，从而 为二面角M—BC—A的平面角. 因 ，结合 与 平行知， ，即 ，这样 .故二面角M—BC—A的大小为 . 6．设函数 ，其中 是一个正整数.若对任意实数 ，均有 ，则 的最小值为 . 【答案】16 【解析】由条件知， 其中当且仅当 时， 取到最大值.根据条件知，任意一个长为1的开区间 至少包含一个最大值点，从而 ，即 . 反之，当 时，任意一个开区间均包含 的一个完整周期，此时 成