第09讲 2017年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1、设 是定义在 上的函数，对任意实数 有 .又当 时， ，则 的值为 . 2、若实数 满足 ，则 的取值范围是 . 3、在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ， 为 的上焦点， 为 的右顶点， 是 上位于第一象限内的动点，则四边形 的面积的最大值为 . 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 .[来源:学科网ZXXK] 5.正三棱锥 中， 过 的平面 将其体积平分，则棱 与平面 所成角的余弦值为 .[来源:学科网] 6、在平面直角坐标系 中，点集 ，在 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 的概率为 . 7、在 中， 是边 的中点， 是线段 的中点，若 ， 的面积为 ，则 的最小值为 . 8.设两个严格递增的正整数数列 ， 满足 ，对任意的正整数 ，有 则 的所有可能值为 .[来源:学科网] 二、解答题：（本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤）. 9、（本题满分16分）设 为实数，不等式 对所有 成立，证明： .[来源:学,科,网] 10.（本题满分20分）设 是非负实数，满足 ，求 的最小值和最大值. 11.（本题满分20分）设复数 满足 且 （其中 表示复数 的实部）.[来源:学科网ZXXK] (1)求 的最小值； （2）求 的最小值. 一、（本题满分40分）如图，在 中， ， 为 的内心，以 为圆心， 为半径作圆 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，过点 的圆 与 , 分别交于点 （不同于点 ），设 与 交于点 .证明： . 二、（本题满分40分）设数列 定义为 . 三、（本题满分50分）将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等，若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值. 四、（本题满分50分）设 均是大于1的整数， 是 个不超过 的互不相同的正整数，且 互素.证明：对任意实数 ，均存在一个 ，使得 ，这里 表示实数 到它最近的整数的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 2017年全国高中数学联赛一试试题参考答案 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1、设 是定义在 上的函数，对任意实数 有 .又当 时， ，则 的值为 . 【答案】 【解析】由条件知， EMBED Equation.DSMT4 z学科xx网k 2、若实数 满足 ，则 的取值范围是 . 【答案】 3、在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ， 为 的上焦点， 为 的右顶点， 是 上位于第一象限内的动点，则四边形 的面积的最大值为 . 【答案】 【解析】易知 设 的坐标是 则 其中 时，四边形 面积的最大值为 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 . 【答案】75 5.正三棱锥 中， 过 的平面 将其体积平分，则棱 与平面 所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】设 的中点分别为 ,则易证平面 就是平面 .由中线长公式得 所以 又易知直线 在平面 上的射影是直线 所以 故棱 与平面 所成的角的余弦值为 z学科xx网k 6、在平面直角坐标系 中，点集 ，在 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 的概率为 . 【答案】 【解析】易知 中有9个点，故在 中随机取出三个点的方式数为 种. 将中的点按图标记为 ，其中有8对点之间的距离为 ，由对称性，考虑取 两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有 个三点组（不计每组中三点的顺序），对每个 ， 中恰有 两点与之距离为 （这里下标按模8理解），因而恰有 这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为 ，进而所求概率为 . z学科xx网k 7、在 中， 是边 的中点， 是线段 的中点，若 ， 的面积为 ，则 的最小值为 . 【答案】 当 时， 的最小值为 8.设两个严格递增的正整数数列 ， 满足 ，对任意的正整数 ，有 则 的所有可能值为 . 【答案】13,20. 当 时， 分别化为 无解. 当 时， 分别化为 得到唯一的