人教A版高中数学选修2-1 第二章第4节圆锥曲线统一的定义教学设计+说课稿+反思

圆锥曲线的统一定义 教学目标 1、 了解圆锥曲线的统一定义； 2、 掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法． 教学重点，难点 圆锥曲线的统一定义及准线方程． 教学过程 一、问题情境 1．情境： 我们知道，平面内到一个定点 的距离和到一条定直线 不在 上 的距离的比等于 的动点 的轨迹是抛物线． ［设计意图]：以抛物线的定义作为新知识的生长点，设计了用电脑实验探索的问题情境，为猜想的形成提供足够的感性认识基础 当这个比值是一个不等于１的常数时，动点 的轨迹又是什么曲线呢？ 2．问题： 试探讨这个常数分别是 和 时，动点 的轨迹？ 二、学生活动 探讨过程略（可以用课件演示）； 可以得到：当常数是 时，得到的是椭圆；当常数等于 时得到的是双曲线； 问题：请大家回顾椭圆的标准方程的推导过程（可以用课件演示） ［设计意图]：回忆推导椭圆的标准方程的过程，从中探索到定点距离与到定直线距离之 比为定值所蕴涵的关系，从而自然提出后面的思考。 在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个方程： 将其变形为 思考：你能解释这个方程的几何意义吗？ ［设计意图]：这个等式表明，椭圆上任意一点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比是一个常数，这个常数就是椭圆的离心率。从而使学生学会从多个角度（如代数的、几何的角度）认识同一个数学对象。 3、 数学运用 例题：已知点 到定点 的距离与它到定直线 的距离的比是常数 EMBED Equation.DSMT4 ，求点 的轨迹． 变题：已知点 到定点 的距离与它到定直线 的距离的比是常数 EMBED Equation.DSMT4 ，求点 的轨迹． ［设计意图]：双曲线的类似命题由学生思考、发现，从而引导学生建立圆锥曲线的统一定义。 四、知识建构 类似地，我们可以得到：当点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线，方程为 （其中 ），这个常数就是双曲线的离心率． 这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点 和到一条定直线 （ 不在 上） 的距离的比等于常数 的点的轨迹． 当 时，它表示椭圆； 当 时，它表示双曲线； 当 时，它表示抛物线． 其中 是圆锥曲线的离心率，定点 是圆锥曲线的焦点，定直线 是圆锥曲线的准线．