圆锥曲线与方程讲义——2021－2022学年高二上学期数学人教A版选修2－1

2022-10-20

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普通

数学学科学生讲义

学生姓名：年级：高二科目：数学学科教师：
课题	圆锥曲线与方程
授课类型	基础知识	经典例题	巩固提升
教学目标	1求曲线的基本方法 2椭圆的标准方程 3直线与椭圆的位置关系
教学重难点	椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系
授课日期及时段
教学内容
知识点一求曲线的基本方法一．曲线的方程和方程的曲线在平面直角坐标系中，如果曲线 $C$ 与方程之间具有如下关系： 1. 曲线 $C$ 上的点都是方程的解； 2. 以方程的解为坐标的点都在曲线 $C$ 上．那么曲线 $C$ 叫做的曲线，方程叫做曲线 $C$ 的方程. 也就是说，如果曲线 $C$ 的方程是，则 $M(x,y)\in C\Leftrightarrow F(x,y)=0$ ．二．曲线的交点已知两条曲线 ${{C}_{1}}$ 和 ${{C}_{2}}$ 的方程分别为：，，则交点坐标对应方程组 $\left\{ \begin{align} & F(xy)=0 \\ & G(xy)=0 \\ \end{align} \right.$ 的实数解. 三．求动点轨迹方程的步骤 1．建立直角坐标系； 2．设动点的坐标为； 3．把几何条件转化为坐标表示，得到 $xy$ 之间的关系 $F(xy)=0$ ； 4．证明所求的就是曲线的方程（一般省去证明，只需通过验证除去或补上相关的点）．四．曲线的对称性 1. 在曲线方程里，如果以代替方程不变，那么当点在曲线上时，它关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称；

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2. 同理，如果以代替方程不变，那么当点在曲线上时，它关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称；

3. 如果同时以代替，以代替，曲线方程不变，那么曲线关于原点对称．

考点一、直接法

例题1、已知点 $aixuexiimg1,\[P\]$ 是直线 $aixuexiimg2,\[2x-y+3=0\]$ 上的一个动点，定点 $aixuexiimg3,\[M(-1,2)\]$ ， $aixuexiimg4,\[Q\]$ 是线段 $aixuexiimg5,\[PM\]$ 延长线上的一点，且 $aixuexiimg6,\[\left| PM \right|=\left| MQ \right|\]$ ，则 $aixuexiimg7,\[Q\]$ 点的轨迹方程是（）

例题2、已知圆 $aixuexiimg1,\[O\]$ 的方程是 $aixuexiimg2,\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2=0\]$ ，⊙ $aixuexiimg3,\[O\prime \]$ 的方程是 $aixuexiimg4,\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+10=0\]$ ，如图所示．由动点 $aixuexiimg5,\[P\]$ 向⊙ $aixuexiimg6,\[O\]$ 和⊙ $aixuexiimg7,\[O\prime \]$ 所引的切线长相等，求动点 $aixuexiimg8,\[P\]$ 的轨迹方程

aixuexiimg9,

例题3、曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于 $aixuexiimg1,$\frac{1}{2}$$ a2．

其中，所有正确结论的序号是____．

考点二、参数法

例题1、如图所示，已知点 $aixuexiimg1,\[C\]$ 的坐标是 $aixuexiimg2,\[(2\unicode{0xFF0C}2)\]$ ，过点 $aixuexiimg3,\[C\]$ 的直线 $aixuexiimg4,\[CA\]$ 与 $aixuexiimg5,\[x\]$ 轴交于点 $aixuexiimg6,\[A\]$ ，过点 $aixuexiimg7,\[C\]$ 且与直线 $aixuexiimg8,\[CA\]$ 垂直的直线 $aixuexiimg9,\[CB\]$ 与 $aixuexiimg10,\[y\]$ 轴交于点 $aixuexiimg11,\[B\]$ ．设点 $aixuexiimg12,\[M\]$ 是线段 $aixuexiimg13,\[AB\]$ 的中点，求点 $aixuexiimg14,\[M\]$ 的轨迹方程．

aixuexiimg15,

随练1、过圆 $aixuexiimg1,\[O\unicode{0xFF1A}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\text{ }4\]$ 外一点 $aixuexiimg2,\[A(4\unicode{0xFF0C}0)\]$ ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦 $aixuexiimg3,\[BC\]$ 的中点 $aixuexiimg4,\[M\]$ 的轨迹

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考点三、相关点法与参数法

例题1、设P为双曲线 $aixuexiimg1,\[\frac{{{x}^{2}}}{4}-\]$ y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是___________．

例题2、如图，从双曲线 $C:{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1$ 上一点 $Q$ 引直线 $l:x+y=2$ 的垂线，垂足为 $N$ ，求线段 $QN$ 的中点 $P$ 的轨迹方程

随练1、如图所示，过点 $aixuexiimg1,\[P\left( 2,4 \right)\]$ 作互相垂直的直线 $aixuexiimg2,\[{{l}_{1}}\unicode{0xFF0C}{{l}_{2}}\]$ ．若 $aixuexiimg3,\[{{l}_{1}}\]$ 交 $aixuexiimg4,\[x\]$ 轴于 $aixuexiimg5,\[A\]$ ， $aixuexiimg6,\[{{l}_{2}}\]$ 交 $aixuexiimg7,\[y\]$ 轴于 $aixuexiimg8,\[B\]$ ，求线段 $aixuexiimg9,\[AB\]$ 中点 $aixuexiimg10,\[M\]$ 的轨迹方程

aixuexiimg11,

知识点二椭圆的标准方程

一．椭圆的定义

1. 定义：

我们把平面内与两个定点 $aixuexiimg1,${{F}_{1}}{{F}_{2}}$$ 的距离之和等于常数（大于 $aixuexiimg2,$|{{F}_{1}}{{F}_{2}}|$$ ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

2. 若为某一椭圆上的点， $aixuexiimg4,$\left| P{{F}_{1}} \right|+\left| P{{F}_{2}} \right|=2a\left( 2a>\left| {{F}_{1}}{{F}_{2}} \right| \right).$$ 则：

（1）该椭圆上任意一点到 $aixuexiimg5,${{F}_{1}}{{F}_{2}}$$ 的距离之和等于定长；

（2）定长 $aixuexiimg7,$2a>\left| {{F}_{1}}{{F}_{2}} \right|$$ .

二．椭圆的标准方程

若 $aixuexiimg8,$\left| P{{F}_{1}} \right|+\left| P{{F}_{2}} \right|=2a$$ ，则点的轨迹是一个椭圆，其方程为：

1．焦点在轴上， $aixuexiimg11,${{F}_{1}}(-c0)$$ ， $aixuexiimg12,${{F}_{2}}(c0)$$ ：

$aixuexiimg13,$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0a>c{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}})$$

2．焦点在轴上， $aixuexiimg15,${{F}_{1}}(0-c)$$ ， $aixuexiimg16,${{F}_{2}}(0c)$$ ：

$aixuexiimg17,$\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0a>c{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}})$$

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