中考数学复习指导：角平分线的一个结论及其推广

角平分线的一个结论及其推广 问题1：入图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点I.你能归纳出 ∠BIC和∠A的关系吗？ 结论1：∠BIC=90°＋ ∠A . 理由如下： ∠BIC=180°－∠IBC－∠ICB =180°－ ∠ABC－ ∠ACB =180°－ （∠ABC＋∠ACB） =180°－ （180°－∠A） =90°＋ ∠A.[来源:Zxxk.Com] 问题2：如图2，点 O是△ABC的外角∠DBC和∠BCE的平分线的交点，试判断∠BOC和∠A有何关系？[来源:学+科+网] 探究1（利用三角形内角和定理及其推论）： ∠BOC=180°－∠OBC－∠OCB =180°－ ∠DBC－ ∠ECB =180°－ （∠DBC＋∠ECB） =180°－ （180°－∠ABC＋180°－∠ACB） =180°－ 〔180°＋(180°－∠ABC－∠ACB）〕 =180°－ （180°＋∠A） =90°－ ∠A. 探究2（利用问题1中的结论）： 作∠ABC，∠ACB的平分线相交于点I， 则显然有∠BIC=90°＋ ∠A. 由于邻补角的平分线互相垂直，所以，∠IBO= ∠ICO =90°. 在四边形 IBOC中， ∠BOC=180°+180°－∠IBO－∠ICO－∠BIC[来源:Zxxk.Com] =360°－90°－90°－（90°＋ ∠A） =90°－ ∠A. 结论2：∠BOC=90°－ ∠A . 问题3：如图3，点 D是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，试探究∠D与∠A有何关系？ 探究1（利用三角形外角和定理及其推论）： ∠D=180°－∠DBC－∠DCB =180°－∠DBC－（∠ACB＋∠ACD）[来源:学。科。网] =180°－∠DBC－（∠ACB＋ ∠ACE） =180°－ ∠ABC－∠ACB－ ∠ACE =180°－ ∠ABC－∠ACB－ （∠ABC＋∠A） =180°－ ∠ABC－∠ACB－ ∠ABC－ ∠A =（180°－∠ABC－∠ACB）－ ∠A =∠A－ ∠A = ∠A. 探究2：（利用问题1中的结论）作∠ACB的平分线交BD于I.由结论①可知，∠BIC=90°＋ ∠A. 由于邻补角的平分线互相垂直，所以∠ICD=90°. 又∠BIC=∠ICD＋∠D，故∠D=∠BIC－∠ICD=（90°＋ ∠A）－90°= ∠A. 结