第4章 微专题6 中点问题常见辅助线的作法-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

微专题六 中点问题常见辅助线的作法 作法一构造中位线 针对训练 情形1：图形中出现两个及以上的中点，考虑构 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于 造中位线 点D.且DD,F是机的 如图，在△ABC中，点D,E分别为AB,AC的 B D 条件 中点 中点，若BF=2,则AC的长为 2.如图，在△ABC中，D为AC的中点，过点D作 连接DE 示例 D D DE⊥AC交AB于点F,交CB的延长线于点E, 若F为DE的中点，BF=3,求AF的长 结论 DE∥BC,DE= BC,△ADE∽△ABC 2 情形2：图形中出现一个中点时，考虑过中，点作 另一边的平行线构造中位线 条件 如图，在△ABC中，点D为AB的中点 过点D作 示例 DE∥BC D 交AC于 点E 结论 AE=CE,DE= BC,△ADE∽△ABC 情形3：图中出现中点时，考虑过顶点作过中点 3.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分 线段的平行线构造中位线. 别为3和1，点F,G分别在边BC,CD上，P为 条件 如图，已知CD为△ABC的中线 AE的中点，连接PG,求PG的长 过，点A作AF∥ CD交BC的延 示例 长线于点FD 结论 BD=AD.DC= 2AF,△BDC∽△BAF 【例1】如图，O为口ABCD的对角线AC和BD的 交点，E为边BC的中点，连接AE交BD于点 F,若BD的长为6，则OF的长为 106 作法二构造直角三角形的斜边中线 作法三构造等腰三角形“三线合一” 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB的 情形1：遇等腰三角形底边中点时，考虑作底边 条件 中点 上的中线，利用“三线合一” 如图，在等腰三角形ABC中，点D是底边BC 条件 连接CD 的中点 示例 连接AD 示例 结论 CD=ZAB B市C B 【例2】如图，在等腰直角三角形 结论 AD⊥BC,∠BAD=∠CAD ABC中，∠B=90°，D为边AC的 情形2：遇过中，点的垂线，考虑用垂直平分线的 中点，E,F分别是AB,BC边上 性质 的点，且DE⊥DF,连接EF,若 如图，在△ABC中，点D是BC的中，点，DE⊥BC AE=4,FC=3,则EF的长为 条件 交AC于点E 针对训练 连接BE 4.如图，将两个含30°且大小不一 D 示例 样的两个直角三角板(Rt△ABC 308 和Rt△BCD)摆放在一起， 30° B 结论 BE=CE,∠BED=∠CED ∠ACB=∠BDC=90°，E为AB的中点，连接 DE.若AC=2,则DE的长为 【例3】如图，在△ABC中，D是 5.已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD1BC于 BC上一点，AB=AD,E,F分别 点D,点M为BC的中点，求证：AB=2DM, 是AC,BD的中点，若EF=2, 则AC的长为 针对训练 6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠BCA=75°， AC=8,点D为BC的中点，且DE⊥BC交AB 于点E,则BE的长为 B A.4 B.8 C.16 D.32 7.如图，若AB=AC=5,BC=6,点E为BC的中 点，过点E作EF⊥AC于点F,则EF的长度为 107 作法四加倍延长中线（或线段）构造全等 8.如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点 情形1：倍长中线 F在BC上，且∠EFD=∠ADF,求tan∠CDF 的值 条件 在△ABC中，AD是BC边上的中线 辅助 作法1：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE; 线 作法2：过，点B作BE∥AC交AD的延长线于点E 倍长中线 示例 D 结论 △ACD≌△EBD 情形2：倍长类中线 在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AB 条件 上一点，连接DE 作法1：延长ED到，点F,使DF=ED,连接CF; 辅助 作法2：过，点C作CF∥AB交ED的延长线于 线 点F 9.如图，在口ABCD中，过点A作AE⊥CD于点 倍长类中线 示例 E,点F是BC的中点，连接AF,EF,求证：AF= EF. 结论 △BDE≌△CDF 【例4】如图，AD是△ABC的中线，在AD上取 点F,连接BF并延长交AC于点E,使AE= EF,求证：BF=AC 108.BF=AB2-AF=√(25)2-(2)2=32. △ACD为等腰直角三角形，AF⊥CD, ..CF=DF=AF=√2，∴.BC=BF+CF=4W2, 六Sac=2BC·AF=2x42xW2=4. (2).·△ABE,△ADC为等腰直角三角形，∠BAE=∠DAC= 90°，AB=AE,AD=AC, .∴.∠BAD+∠DAE=90°，∠DAE+∠CAE=90°， ∴.∠BAD=∠CAE. (AB=AE. 在△BAD和△EAC中， ∠BAD=∠EAC, AD=AC, △BAD≌△EAC(SAS),∴.BD=EC,∠ABD=∠AEC .∠1=∠2，且∠ABD+∠1+∠BAE=180°， ∠AEC+∠2+∠BCE=180°，.∴∠BCE=∠BAE=90°， BD=BC-CD=BC-2CF=22, CE=2/2.tanL CBE=CE_221 BC422 9.C 10.证明：∠ACB=90°，.∠ACD+∠BCE=90°. .·AD⊥ED,BE⊥ED,∴.∠ADC=∠CEB=90°， .∴.∠ACD+∠CAD=90°，∴.∠CAD=∠BCE. 在△BEC和△CDA中， ∠BCE=∠CAD, ∠CEB=∠ADC,∴.△BEC≌△CDA(AAS), CB=AC, .BE=CD,CE=AD,.'.DE=CE+CD=AD+BE. 11.(1)证明：BE⊥CE,AD⊥CE,.∠E=∠ADC=90°， .∴.∠EBC+∠BCE=90° :∠ACB=90°，∴.∠BCE+∠ACD=90°， ∴.∠EBC=∠DCA. (∠E=∠ADC, 在△BCE和△CAD中，{∠EBC=∠DCA, BC=CA, .∴.△BCE≌△CAD(AAS),∴，BE=CD,CE=AD, ∴.DE=CE-CD=AD-BE. (2)解：BE=5,DE=7,由(I)得△BCE≌△CAD, ∴.DC=BE=5,∴.CE=AD=CD+DE=5+7=12. 在Rt△ACD中，AC=√DC2+AD2=√52+122=13， .△ACD的周长为5+12+13=30 第四节等腰三角形与直角三角形 必备知识·夯根基 ①相等②顶角的平分线③底边上的中线④底边上的高线 ⑤- ⑥两条⑦2h⑧60°⑨三国三条边①60 了 4 390°④斜边的一半⑤斜边的一半⑥a2+b2=c2 D直角Ba2+b2=29互余0-半①2b245° 8直角（或90°）②445°5直角②6两直角边 重难突破·提能力 【例1】(1)20°或80°(2)14或16(3)36 (4)①等边三角形3②3√/3③3√3④27 【例211)150(2)30165(3)105(416 3 30 核心考点·分类练 1.B2.63.24.B5.∠BCE=∠B(答案不唯一) 6.证明：.·△ABC是等边三角形 ..AB=BC,∠ABD=∠C=60 又.BD=CE,.△ABD≌△BCE(SAS), ∴.AD=BE. 7D&2+/3 2 9.11,60.6110.B11.B12.3 当堂达标检测 1.C2.D3.1004.45.12 6(1)解：方法一：∴AB=AC,D是BC边上的中点， .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, .∠ADC=90°，.∠CAD=90°-36°=54°， .∠BAD=54°. 方法二：·AB=AC,D是BC边上的中点， ∴.∠ABD=∠C=36°，AD⊥BC .∠BAD=90°-36°=54 (2)证明：：BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE. .·EF∥BC,∴.∠FEB=∠CBE .∠FBE=∠FEB,∴.FB=FE 7.解：(1)∠ABC=90°，∠ACB=30°， ..∠BAC=60°. 'AD是∠BAC的平分线， .∠DAC=∠DAB=7∠BAC=30 .∠ADC=∠DAB+∠ABC=120 (2)由作图，知MN是线段CD的垂直平分线」 DE=CE=CD,4FED=90 .∠DAC=∠C=30°，.AD=CD. .·∠ABC=90°，∠DAB=30°， ..AD=AB c0s30 -=25,BD=AD-2CD-DE. 2 .∠ADB=∠FDE,∠ABD=∠FED=90°， ..△ADB≌△FDE(ASA), ..DF=AD=23. 微专题六中点问题常见辅助线的作法 【例1】11.4 2.解：如图，过点D作DGAB交BC于点G. 点F为DE的中点，DGAB, .BE=BG. .BF为△EGD的中位线、 .DG=2BF=6. .·D为AC的中点，DG∥AB, .BG=CG. .DG为△ABC的中位线， ∴.AB=2DG=12, .AF=AB-BF=12-3=9. 3.解：如图，延长GE交AB于点O,过点P作 PH⊥OE于点H,则PH∥AB,OB=1. P是AE的中点，.OH=HE, .PH是△AOE的中位线 .1 PH=20A=2X(3-1)=1 .·Rt△AOE中，∠OAE=45° .△AOE是等腰直角三角形，即0A=OE=2. 8 同理△PHE中，HE=PH=1,∴.HG=HE+EG=1+1=2, .在Rt△PHG中，PG=√PH+HG=√+2=5. 【例2】54.√万 5.证明：如图，取AC的中点N,连接MW,DN. 点M为BC的中点， ,MN为△ABC的中位线， N,且MN=号a, .∴.∠B=∠NMC. 又：∠B=2∠C,∠NMC=2∠C, ..∠NMC=∠MDN+∠MND=2∠C. 又：DN为Rt△ADC斜边上的中线， .DN=NC-AN-AC, .∠MDN=∠C,.∠MND=∠C=∠MDN, 1 DM=MN DM=2AB..AB=2DM. 【例346c7号 【例4】证明：如图，延长AD至点H,使DH=AD,连接BH. :AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD. 又·∠ADC=∠HDB,AD=HD. .△ADC≌△HDB(SAS), .AC=BH,∠CAD=∠H. .·AE=EF,∴.∠EAF=∠AFE. ,·∠AFE=∠BFH,∴.∠H=∠BFH .∴.BF=BH..BF=AC. 8.解：如图，延长FE至点G,使得EG=EF,连接AG. 设正方形ABCD的边长为1，CF=x,则G BF=1-x. 点E是AB的中点， AE-BE=号 在△AEG和△BEF中， (AE=BE, ∠AEG=∠BEF,.∴.△AEG≌△BEF(SAS), EG=EF, ∴，AG=BF=1-x,∠EAG=∠EBF=∠BAD=90°， ∴D,A,G三点共线 ∠EFD=∠ADF,.GF=GD=1-x+1=2-x, B=cF=I-号 2 在Rt△BEF中，由勾股定理，得BF2+BE2=EF2, 解得x=3或x=1(舍去)，“CF=3 CF 1 在Rt△DFC中，tan∠CDF= DC 3 9.证明：如图，延长AF至点G,使得FG=AF 连接CG. ·点F是BC的中点，.BF=CF 又.AF=GF,∠AFB=∠GFC, B ∴.△ABF≌△GCF(SAS),∴.∠B=∠BCG. .·在□ABCD中，AB∥CD, .∠B+∠BCD=180°， .∠BCG+∠BCD=180°， .E,C,G三点共线 .·AE⊥CD且F为AG的中点， EF为Rt△AEG斜边上的中线，，AF=EF 第五节尺规作图 必备知识·夯根基 ①.②P0③2Mm④2B⑤24B⑥PW⑦2d 核心考点·分类练 1.D2.√2 3.解：如图，等腰△COE即为所作 A D 0 E B 4.解：(1)如图，△BED即为所求作的三角形 E (2)如图，：四边形ABCD是矩形， .AD=BC=2,AB=CD=1,AD∥BC,∠A=90°， .∠ADB=∠CBD. 由轴对称的性质，得∠EBD=∠CBD, .∠FBD=∠FDB,.FB=FD. 设AF=x,则DF=BF=2-x,.12+x2=(2-x)2, 解得=子AP= 4 5.解：(1)13 (2)取点E,F,得到正方形ABEF,AF交格线于点D,BE交 格线于点C,连接DC,得到矩形ABCD,即为所求. 6.解：(1)如图1，点D即为所求 (2)如图2，分别取BC,AC的中点D,E,连接AD,BE相交于 点O,则点O即为所求 图1 图2 当堂达标检测 1.B2.D3.3 4.解：(1)如图1中，△ABC即为所求. A B CC 图1 图2 图3