中考数学复习指导：利用面积法解一类线段关系问题

利用面积法解一类线段关系问题 几何图形面积与线段、角、弧等有着密切关系，借助面积极法不但可证明各种几何图形中的面积等量关系，还可证某些线段相等，角的相等关系以及线段之间的比例式等多种类型的几何题，用面积法证题，关键在于利用题目的特点，分析相应图形面积之间的关系，推出几何题中相应边角关系。下面通过实例分析，说明如何借助面积找线段关系。 实例：1、已知ΔABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E， 求证： 证明：根据三角形面积公式得 SΔABC＝ ×CE＝ BD×AC ∴AB·CE＝BD·AC ∴ 评析：BD和CE分别是ΔABC的高，而高又与面积相关，用不同边上高表示三角形面积，由同一个三角形面积相等，快速确定找出线段比例关系，即找到三角形相似关系。 实例：2、ΔABC中，∠A＝90°，D是AC上一点，BD＝DC，P是BC上一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F， 求证：PE+PF＝AB 证明：∵SΔPDB+ SΔPCD＝SΔBCD ∴ ×BD×PE+ ×CD×PF＝ CD×AB ∵CD＝BD ∴PE+PF＝AB 评析：PE、PF、AB分别是ΔPBD、ΔPCD、ΔBCD的高，ΔPBD、ΔPCD面积和等于ΔBCD面积。 证明线段和差问题，借助等式中的线段恰好是相应三角形的高，利用面积来建立线段关系，约去两边的等线段得出求证结论。 实例：3、平行四边形ABCD对角线上有一点E，作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，求证：EF：EG＝AD：AB 证明：作EK∥CD、EH∥CB ∵EF⊥AB，EG⊥AD ∴S平行四边形AHEK＝EF×AH＝EG×AK ∴ 又∵EK∥CD ∴ EH∥BC ∴ ∴ 即 又∵ ∴ 评析： 证线段成比例，联想到平行线截线段成比例关系，与分点E有关系，之所以过E作平行线构造新的平行四边形，借助平行四边形的面积来转换关系，由面积关系得比例式，从而推出结论。 实例4、D、E分别是ΔABC边AC、AB上的点，BD、CE相交于O，ΔOBE、ΔOBC、ΔOCD面积分别为15、30、24，求AE：BE 解：作DF∥EC交AB于F，ΔOBE、ΔOBC同高， ∴ 同理 设OE＝m，OD＝4n，OC＝2m，OB＝5n ∵DF∥EC ∴ΔBOE∽ΔBDF ΔADF∽ΔACE ∴ ∴ ∴BE= EF DF= OE= 又∵ ∴ ∴