中考数学复习指导：利用不变量解图形的折叠、剪拼与分割问题

利用不变量解图形的折叠、剪拼与分割问题 一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合． 对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的． 把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼． 解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变． 例题求解 【例1】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于 ． 思路点拨 设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程． 注 图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来． 折叠问题可以对称观点认识： (1)折痕两边是全等的； (2)对应点连线被折痕垂直平分． 解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法． 【例2】 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 D10 C．8 D．6 思路点拨 只需求出AF长即可． 【例3】 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1； 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB'E，如图2； 第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图3． 利用展开图4探究： (1)△AEF是什么三角形?证明你的结论． (2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由． 思路点拨 本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论． 【例4】如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为