[]湖北省孝感市2018届高三上学期第一次统考数学（理）试题（图片版）

书书书 孝感市２０１７—２０１８学年度高中三年级第一次统一考试 理科数学参考答案 一、选择题（每小题５分，共６０分） １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｄ　６．Ｂ　７．Ａ　８．Ｂ　９．Ｂ　１０．Ｃ　１１．Ｂ　１２．Ｄ 二、填空题（每小题５分，共２０分）（对而不全的不给分） １３．槡 槡３２＋６ ２ 　　１４．槡５２－３　　１５． １５ ８ 　　１６．９ 三、解答题（共６大题，共７０分） １７．（１）∵ｆ（ｘ）＝槡３ ２ （１＋ｃｏｓ２ｘ）＋１ ２ ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎ（２ｘ＋π ３ ）＋槡３ ２ ……２分 ∴Ｔ＝２π ２ ＝π ……３分 令２ｋπ＋π２≤ ２ｘ＋π ３≤ ２ｋπ＋ ３π ２得 ｋπ＋π１２≤ ｘ≤ｋπ＋ ７π １２ 故ｆ（ｘ）的单调递减区间为［ｋπ＋π１２ ，ｋπ＋ ７π １２ ］（ｋ∈Ｚ） ……５分 （２）∵ｆ（Ａ ２ －π ６ ）＝ｓｉｎＡ＋槡３ ２ 槡 ＝３ ∴ｓｉｎＡ＝槡３ ２ ……７分 Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ｂｃｓｉｎＡ＝槡３ ２ ｂ 槡＝２３ ∴ｂ＝４ ……９分 又∵ｃｏｓＡ＝± １ ２ ……１０分 ∴ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ＝１２或２８ ∴ａ 槡＝２３或 槡２７ ……１２分 １８．（１）∵ａｎ＋１＝２ Ｓ槡ｎ ∴（ａｎ＋１） ２＝４Ｓｎ ∴（ａｎ－１＋１） ２＝４Ｓｎ－１（ｎ≥２） 两式相减得ａ２ｎ－ａ ２ ｎ－１＋２（ａｎ－ａｎ－１）＝４ａｎ ∴ａ２ｎ－ａ ２ ｎ－１＝２（ａｎ＋ａｎ－１） ∵ａｎ＞０ ∴ａｎ－ａｎ－１＝２（ｎ≥２） ……３分 ∴｛ａｎ｝是公差为２的等差数列 ∵ａ１＋１＝２ Ｓ槡１＝２ ａ槡１ ∴ａ１＝１ ……４分 理科数学参考答案　第 １页 ∴ａｎ＝１＋２（ｎ－１）＝２ｎ－１ ……６分 （２）∵｛ｂｎ｝为等比数列，ｂ１＝ａ１＋１＝２，ｂ３＝ａ４＋１＝８ ∴ｑ＝２，ｂｎ＝２ ｎ ……８分 ∴Ｔｎ＝１·２ １＋３·２２＋５·２３＋…＋（２ｎ－１）２ｎ ……９分 　２Ｔｎ＝１·２ ２＋３·２３＋５·２４＋…＋（２ｎ－１）２ｎ＋１ ∴－Ｔｎ＝２ １＋２３＋２４＋２５＋…＋２ｎ＋１－（２ｎ－１）２ｎ＋１ 　＝２＋２ ３ （１－２ｎ－１） １－２ －（２ｎ－１）２ｎ＋１＝（３－２ｎ）２ｎ＋１－６ ∴Ｔｎ＝（２ｎ－３）２ ｎ＋１＋６ ……１２分 ! " # $ % $! & ' １９．（１）如图，取ＡＥ的中点为 Ｏ，取 ＢＣ的中点为 Ｆ，连接 Ｄ′Ｏ和ＯＢ，Ｄ′Ｆ和ＯＦ 由题意知： ＡＤ＝ＤＥ＝２，ΔＡＤ′Ｅ是等腰三角形 Ｄ′Ｂ＝Ｄ′Ｃ，ΔＤ′ＢＣ是等腰三角形 则有Ｄ′Ｏ⊥ＡＥ，Ｄ′Ｆ⊥ＢＣ ……２分 Ｏ，Ｆ分别为ＡＥ和ＢＣ的中点，ＡＢ⊥ＢＣ可得：ＯＦ⊥ＢＣ，而Ｄ′Ｆ⊥ＢＣ， ＯＦ∩Ｄ′Ｏ＝Ｏ，所以ＢＣ⊥面Ｄ′ＯＦ，可得ＢＣ⊥Ｄ′Ｏ， ……４分 而Ｄ′Ｏ⊥ＡＥ，ＢＣ，ＡＥ平面ＡＢＣＥ，且ＢＣ与ＡＥ不平行 所以Ｄ′Ｏ⊥平面ＡＢＣＥ ……５分 而Ｄ′Ｏ平面Ｄ′ＡＥ，所以平面ＡＤ′Ｅ⊥平面ＡＢＣＥ ……６分 （２）几何法： 由（１）知ＯＦ⊥ＢＣ，Ｄ′Ｆ⊥ＢＣ，ＯＦ面ＡＢＣＤ，Ｄ′Ｆ面Ｄ′ＢＣ 从而二面角Ｄ′－ＢＣ－Ａ＝∠Ｄ′ＦＯ ……８分 由（１）知Ｄ′Ｏ⊥平面ＡＢＣＥ，可得Ｄ′Ｏ⊥ＯＦ，△Ｄ′ＯＦ为直角三角形 Ｏ、Ｆ分别为ＡＢ和ＢＣ的中点 ，从而ＯＦ＝ １ ２ （ＡＢ＋ＥＣ）＝３ ２ △ＢＣＥ为直角三角形，ＥＣ＝ １ ２ ＥＢ可得∠ＥＢＣ＝π６ 而∠ＡＢＣ＝π２ ，从而∠ＡＢＥ＝π３ 由题意知：ＡＢ＝ＢＥ＝２，从而ＡＥ＝２ ……９分 △ＡＤ′Ｅ为等腰三角形，且ＡＤ′＝ＥＤ′＝２ Ｏ为ＡＥ的中点，且ＯＤ′⊥ＡＥ，ＯＤ′＝ ＡＤ′２－ＡＯ槡 ２ 槡＝３ ……１０分 ＯＦ＝３ ２ ，ＯＤ′槡＝３，可得Ｄ′Ｆ＝ （ ３ ２ ） ２ 槡 ＋３＝槡２１ ２ ｓｉｎ∠Ｄ′ＦＯ＝ Ｄ′Ｏ Ｄ′Ｆ ＝槡２７ ７ ，从而二面角Ｄ′－ＢＣ－Ａ的正弦值为 槡 ２７ ７ ……１２分 理科数学参考答案　第 ２页 ! " # $ % $! & ' ( )向量法： 如图，取ＡＥ的中点Ｏ为坐标原点，以ＯＤ′为ｚ轴 过点Ｏ作ＢＣ的平行线为ｘ轴，过点 Ｏ作 ＡＢ的 平行线为ｙ轴 建立如图所示空间直角坐标系， ……７分 △ＢＣＥ为直角三角形，ＥＣ＝ １ ２ ＥＢ 可得∠ＥＢＣ＝π６ 而∠ＡＢＣ＝π２ ，从而∠ＡＢＥ＝π３ 由题意知：ＡＢ＝ＢＥ＝２，从而ＡＥ＝２ ……８分 △ＡＤ′Ｅ为等腰三角形，且ＡＤ′＝ＥＤ′＝２ Ｏ为ＡＥ的中点，且ＯＤ′⊥ＡＥ，ＯＤ′＝ ＡＤ′２－ＡＯ槡 ２ 槡＝３ ……９分 由（１）知，ＯＤ′⊥平面ＡＢＣ，可得：Ｏ（０，０，０），Ｄ′（０，０，槡３），Ｃ（槡 ３ ２ ， ３ ２ ，０），Ｂ（－槡３ ２ ， ３ ２ ，０） 可得平面ＡＢＣ的法向量为 →ＯＤ′＝（０，０，槡３） 设向量ｎ＝（ｘ