[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第18讲 与圆相关的计算

第18讲 与圆相关的计算 赛点扫描 与圆相关的计算主要包括弧长、扇形面积、弓形面积的计算;圆锥的侧面积和全面积的计算.相关公式是解决问题的基础. 与圆相关的不规则图形面积的计算,是计算的重点与难点.求解这类问题的关键是将不规则图形转化为可解的规则图形面积的计算.在转化过程中常用到下列方法:图形的平移、图形的旋转、图形的割补、等积代换、整体求解. 赛题解密 例1(第13届江苏省初中数学竞赛题)如图18-1所示,⊙O的半径为2,⊙O内的点P到圆心O的距离为1.过点P的弦AB与劣弧组成一个弓形,则此弓形面积的最小值为( ) A.- D. - C.+ B.+ 【解密】当圆的半径一定时,弓形的面积取决于弓形的高.因此,当圆心到弦AB的距离最大时,弓形面积最小.当AB转到A'B'的位置时,O到AB的距离最大为OP=1. 【解】OP=1时,弓形面积=,这就是所求最小值.故选C. -,2)=×2×2×π×4- 例2(第44届美国高中数学考试题)如图18-2所示,凸五边形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,那么它的面积为( ) A.10 B.7 E.12 C.15 D.9 【解】作∠A、∠B的角平分线AF、BF,AF与BF交于点F,连接FC、FE,则 ∠FAE=∠FAB=∠FBA=∠FBC=60°,于是△FAB是等边三角形,从而FA=FB=AB=AE=BC.同理得△AEF、△BCF都是等边三角形.故E、F、C在一条直线上,CE=4,由此得△CDE为等边三角形,所以五边形ABCDE的面积为3×.,4)×42=7,4)×22+ 故应选B. 【探密】本题用作∠A、∠B角平分线的方法,而没有直接连接CE来解,试比较一下这两种方法. 例3(1999年全国初中数学联赛题)如图18-3所示,在△ABC中,∠B=36°,[来源:学§科§网Z§X§X§K] ∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于_.[来源:学科网] [来源:学#科#网Z#X#X#K] 【解】因为∠B=36°,∠ACB=128°,AM为∠A的平分线, ∴∠CAM=∠MAB=(180°-36°-128°)=8°,[来源:学_科_网] 故∠AMC=44°,又AN为切线, ∴∠NAC=∠B=36°,∠NAM=44°. 故∠N=1