广东省深圳市助力教育2017-2018学年高一数学必修4专题讲义：向量数乘运算及其几何意义（无答案）

向量数乘运算及其几何意义 知识梳理 1、向量数乘运算 一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|；(2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ00. 2、向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，则 (1)λ(μ a)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 3、共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λ a. 4、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 常考题型 题型一、向量的线性运算 例1、化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 变式训练 化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2). 题型二、在几何图形中用已知向量表示未知向量 例2、如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，. 变式训练 如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，. 题型三、共线向量定理的应用 例3、(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线． (2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x ＋y ，求x＋y的值． 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行； (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法． 变式训练 如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线． 课堂小测 1、设a是非零向量，λ是非零实数