平面向量的数量积-高一下学期同步导学案

平面向量的数量积 【考纲解读】 1、 理解平面向量数量积的定义和平面向量数量积的几何意义，了解用平面向量数量积可以解答有关长度，角度和垂直的问题； 2、 掌握平面向量数量积几何运算的公式和基本方法，能够熟练地进行平面向量数量积的几何运用； 3、 掌握平面向量数量积坐标运算的公式和基本方法，能够熟练地进行平面向量数量积的坐标运用； 4、 掌握平面向量垂直的充分必要条件，能够运用平面向量垂直的充分必要条件解答相关的数学问题。 【知识精讲】 一、平面向量数量积的概念： 1、平面向量数量积的定义： B （1）向量的夹角：如图设向量 ， 是两个非零向量， EMBED Equation.DSMT4 = 称为向量 与向量 的夹角，记为〈 ， 〉 O A = ， 的取值范围是[ ， ]； （2）向量夹角的特例： ①当 = 时，向量 与向量 同向； ②当 = 时，向量 与向量 垂直，记作 ⊥ ； ③当 = 时，向量 与向量 反向。 （3）向量数量积的定义：设向量 ， 是两个非零向量，则称数量| || |COS〈 ， 〉叫做向量 与 的数量积，记作 . ； （4）向量的投影：①| |COS〈 ， 〉称为向量 在 方向上的投影；②| |COS〈 ， 〉称为向量 在 方向上的投影； 2、向量数量积的几何意义： . 等于向量 的长度| |与向量 在向量 的方向上的投影| | COS〈 ， 〉的乘积，也可以看作是向量 的长度| |与向量 在向量 方向上的投影| |COS〈 ， 〉，如下图所示： B B B EMBED Equation.DSMT4 O A O A O A ①〈 ， 〉为锐角 ②〈 ， 〉为钝角 ③〈 ， 〉为直角 二、平面向量数量积的几何运算： 1、平面向量数量积的几何运算的公式： . =| || |COS〈 ， 〉，规定： . = . =0； 2、平面向量数量积几何运算的性质： 设 ， 是非零向量， 是与 同向的单位向量， 为向量 与向量 的夹角。 （1） . = . =| |cos ； （2） ⊥ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . =0； （3）当 与 同向时， . =| |.| |；当 与 反向时， . =-| |.| |；特别地 . =| | EMBED Equation.DSMT4 | |= ； （4）cos = ； （5）| . |≤| |.| |。 3、平面向量数量积几何运算的运算律： 设向量 ， ， ， ∈R。 （1） . = . ； （2）（ EMBED Equation.DSMT4 ）. = （ . ）= . （ EMBED Equation.DSMT4 ）； （3）（ + ）. = . + . 。 三、平面向量数量积的坐标运算： 1、平面向量数量积坐标运算的公式： 设 =（ ， ）， =（ ， ）， . = EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 ，规定： . = . =0。 2、平面向量数量积坐标运算的性质： 设 =（ ， ）， =（ ， ）， =（ ， ）， 为向量 与向量 的夹角。 （1） . =| | = + ， | |= ；特别地，若A（ ， ），B（ ， ），则| |= ； （2）cos = = ； （3） ⊥ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . = =0； （4） ， 共线 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 - EMBED Equation.DSMT4 =0， EMBED Equation.DSMT4 = （ EMBED Equation.DSMT4 0， EMBED Equation.DSMT4 0）。 3、平面向量数量积坐标运算的运算律： 设 = ， = ， =（ ， ）， ∈R。 （1） . = . = EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 ； （2）（ EMBED Equation.DSMT4 ）. = （ . ）= . （