中考数学复习指导：探究动点背景下的线段最值问题

探究动点背景下的线段最值问题 图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法: 1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解. 2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 一、从动点所在特殊位置入手 图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点. 例1 如图1，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别为线段 ， 上的动点(含端点，但点 不与点 重合)，点 ， 分别为 ， 的中点，则 长度的最大值为 . 分析 ， 的长度随点 ， 分别在线段 ， 上运动而变化，点 ， 分别为 ， 的中点却保持不变.题设中 与不变量 ， ， 无直接数量关系，但连结 ，则由三角形的中位线定理可知 ，如图1所示，从而可知 最大时， 最大.因为 在线段 上，当点 与其端点 重合时 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知 ，所以 长度的最大值为 . 例2 如图3，在⊙ 中，直径 ， 是弦， ，点 是 上的一个动点，点 在⊙ 上，且 .求 长的最大值.[来源:学科网] 分析 点 在 运动时， ， 的位置和大小都变化，但 ，圆的半径不变，连结 ，则 保持直角三角形不变. 在 中， , 所以 最小时 的长的最大.由垂径定理知，此时点 正好是 的中点，如图4所示， 点与 点重合. 分析 连结 . ∵ ，[来源:Zxxk.Com] ∴ 为直角三角形. 又∵ ， ， ， ∴ 由勾股定理，得 即 长的最大值 . 二、从动点产生的特殊线段入手 在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，