中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析

双等腰直角三角形问题前解法分析 一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的. 一、共直角顶点的两个等腰直角三角形 例1.如图1,已知 和 都是等腰直角三角形， 为 边上一点. (1)求证: ; (2)求证: .[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:学*科*网] 分析 当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一. 例2.如图2，在四边形 中，点 分别是 的中点，过点 作 的垂线，过点 作 的垂线，两垂线交于点 ，连结 ，且 . (1)求证: ; (2)求证: ; (3)如图3，若 所在直线互相垂直，求 的值. 分析 初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现， 和 均为等腰三角形，当四边形 中 时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 二、共底角顶点的两个等腰直角三角形 例3.如图4, 分别在射线 上，且 为钝角，现以线段 为斜边向 外侧作等腰直角三角形，分别是 ，点 分别是 的中点. (1)求证: ; (2)延长 交于点 . ①如图5，若 ，求证: 为等边三角形; ②如图6，若 ，求 的大小和 的值. 分析 本题中两等腰直角三角形 与 中的一底角顶点 重合，通过 绕点 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜