中考数学复习指导：例谈构造位似圆法在解题中的运用

例谈构造位似圆法在解题中的运用 引例1 如图1，已知 为等腰三角形， ，以点 为圆心，1为半径作圆，点 为⊙ 上一动点，连结 ，并绕点 顺时针旋转90°得到 ，连结 ，则 的取值范围是 . 解析 将点 绕点 顺时针旋转90°得点 .当点 在⊙ 上转动一周时，从集合角度看，等同于把⊙ 绕点 顺时针旋转90°，由 ，于是以点 为圆心、2为半径作⊙ ，从而得到点 的运动轨迹.因此，问题就变成了⊙ 外一点 到⊙ 上的点的距离的取值范围，显然当 在直线 上时，可取到最大值和最小值.经计算易得， . 引例2 如图2，在等腰 中， ，点 在以斜边 为直径的半圆 上，点 为 的中点.当点 沿半圆从点 运动至点 时，点 运动的路径长是( ) (A) (B) (C) (D) 2 解析 由点 为 的中点，可知 ，并且在点 的运动过程中该值保持不变，从而联想位似图形的定义和性质构造半圆 的位似图形.分别取 的中点 ，连结 ，以 为直径作半圆 ，则半圆 是半圆 的以点 为位似中心、 为位似比的位似图形.根据位似图形的定义和性质可知，当点 运动时， 与半圆 交点始终是 的中点，即为点 ，因此，点 的运动路径就是半圆 .易求得其长度为 ，因此选择B. 从引例1可以看出，当两个动点与一定点的连线的夹角为一定值时，可以通过旋转主动点所在图形得到从动点的运动轨迹.同样，从引例2可以看出，当两个动点与一定点在同一条直线上(实为两个动点与一定点的连线的夹角为0°)，且它们到定点的距离之比为一定值时，可以通过构造主动点所在图形的位似图形得到从动点的运动轨迹.很多题目中的主动点、从动点同时具备上述两个条件，那么，我们就可以同时运用位似变换和旋转变换进行求解.现展示几例，以供读者分享借鉴. 例1 如图3，在平面直角坐标系中，已知坐标原点 是正 的 边的中点，且点 是⊙ 上的一个动点，点 的坐标为(3,3) ,⊙ 的半径为2，当点 在⊙ 上运动一周时，求点 的运动路径长 [来源:Z。xx。k.Com] 解析 点 为主动点，点 为从动点，连结 ，易得 且 .点 是定点，则点 点 与定点 的距离之比为 、连线夹角为90 °.可先以点 为位似中心、 为位似比