中考数学复习指导：例说多项分数求和的裂项抵消法

例说多项分数求和的裂项抵消法 多项分数和问题是初中数学竞赛中的重要内容，在近几年全国各地数学竞赛中经常出现.在多项分数求和问题中，将其中一些分数拆开，使得拆开后的一些分数可以互相抵消，从而达到简化运算的目的，这种方法称之为裂项抵消法.本文以竞赛试题为例，重点介绍裂项抵消法，供读者参考. 1.直接裂项 如果多项分数和式中的每一项易于分拆，可以利用裂项抵消法求和. 例1 计算： 的值是( ) (A) (B) (C) (D) 解析 原式 [来源:Zxxk.Com] 点评 本题是多项分数求和问题，对原式中的每一项正确分拆是解决这类问题的关键.一般地，对于任意非零实数 ，有 , 等，这是最常用的拆项公式.利用这个公式将每一项分拆后，原式中会出现一些互为相反数的项，它们的和为零，从而大大减少原式中的项数，最终达到简化运算的目的，裂项抵消法是解决这类问题的求解通法. 2.借助通项裂项 如果多项分数和式中的每一项不易于分拆，可考虑分拆其通项，然后再裂项求和. 例2 已知 ，则 的整数[来源:学科网ZXXK] 部分是 .[来源:学.科.网Z.X.X.K] 解析 对于 ，有 又 , . 故 的整数部分是2008. 点评 本题中和式的每一项不易直接分拆，但通过考虑它的通项 ,发现它可以分拆为 ，从而借助于通项来分拆每一项，从而达到裂项相消的目的. 例3已知对于任意正整数 ，都有[来源:学科网] ，则 = . 解析 当 时，有 ， , 两式相减，得 ， 原式 . . 点评 根据已知条件求得通项，然后借助通项裂项，从而达到求和的目的.求解本题有两个难点，一是根据已知求出数列的通项公式;二是利用裂项法求数列的若干项和.裂项抵消法是解决这类竞赛问题的一种重要方法.“裂项”的最终目的是通过“抵消”来解决问题.这种解法的基本特点就是将原式中的每一项或部分项拆分为两项之后，数列的若干项和中大部分项都会互为相反数，从而可以相互抵消，最后和式中只剩下有限的几项，通过简单的运算就可得到结果. 3.适当变形后裂项 例4 计算： = . 解析