中考数学复习指导：分类例析二次函数与三角形相关联的综合问题

分类例析二次函数与三角形相关联的综合问题 我们常会遇到一类二次函数与三角形相关联的综合问题.解决这类问题需要用到数形结合思想，把数与形结合起来，互相渗透.此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定.要注意的是，当相似三角形的对应边和对应角不明确，或者三角形的顶点不确定时，要分类讨论，以免漏解.本文通过梳理知识点，理清解题思路，从以下几个方面来分类例说这类问题的解题方法. 一、与三角形的形状相关联[来源:学+科+网] 例1 如图1，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ,抛物线 与直线交于 两点，与 轴交于 两点，且 点坐标为(1 ,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)设动点 在 轴上移动，当 是直角三角形时，求点 的坐标. 分析 (1)先确定直线与 轴交点 的坐标.用待定系数法将 坐标代入 ，通过解方程组得出抛物线的解折式为 . (2)将点 代入直线 可得 的坐标为(4,3)，再得 点坐标为(-2,0).因直角顶点不确定，可分为以下几类讨论. ①当 为直角顶点时，过点 作 交 轴于 点.设 ，利用相似三角形的知识，证明 ，得 ,即 . ②同理，当 为直角顶点时， 点坐标为 . ③当 为直角顶点时，过点 作 轴于 .设 ，由 ，得 ，可证 ，得 ，解得 . 此时的点 的坐标为(1 ,0)或(3,0).所以满足条件的点 的坐标为 或(1,0)，或(3,0)，或 . 小结解题时要仔细观察几何图形，作辅助线，通过三角形相似求出线段的长度，再确定点的坐标. 二、与三角形的面积相关联[来源:学+科+网] 例2如图2，己知抛物线 与 轴交于点 (1,0)和点 、与 轴交于点 (0,-3). (1)求抛物线的解析式; (2)如图3，己知点 (0,-1)，在抛物线上是否存在点 (点 在 轴的左侧).使得 ?若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说明理由. 分析 (1)利用待定系数法得出抛物线表达式为 (过程略). (2)假设存在点 ，使得 , 和 有一公共边 ,如果以 为底，对应的高相等，根据 点所处位置，分两种情况讨论: ①如图2，当点 在 的同侧， 时， .根据 (1,0)、 (0，-3