中考数学复习指导：发现“隐形”圆 巧求最小值

发现“隐形”圆 巧求最小值 在近几年的中考数学试题中，常有一些涉及到求线段最小值的问题.这些题目入手较难，得分率很低，分析其原因不难发现，学生对题目中运动变化的本质没有搞清楚.在这些蕴含运动变化的问题中，并没有显性的圆，但是仔细分析题目的条件，如果能发现某个点的运动路径是一个圆(或是一段弧)，可谓是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，将会对问题的解决起着重要的作用.下面举例说明. 一、翻折中的“隐形”圆 例1 如图1，在 中， ，点 在边 上，并且 ，点 为边 上的动点，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，则点 到边 距离的最小值是 . 解 如图2，当点 在 上运动时, 的长固定不变，即 .所以点 在 以点 为圆心，以2为半径的圆上运动.过点 作 交⊙ 于点 ，垂足为 ，此时 最短.由 ，得 .又由已知易得 .所以 ，即 .所以 到 距离的最小值 . [来源:学|科|网] 点评 本题关键的地方在于抓住无论点 的位置在哪，翻折 的长度始终等 于 的长度，即 .也就是说动点 到定点 的距离是定值2，所以点 的运动路径是以点 为圆心，2为半径的圆(或部分).如此，这个问题就最终转化为在圆上找一个到定直线距离最短的点.我们可以利用图3的模型1来作出直观解释. 模型1 如图3，直线 与⊙ 相离，过 点 作直线 的垂线，垂足为点 ，交⊙ 与点 、点 ，则⊙ 上点 到直线 的距离最短，点 到直线 的距离最长 理由简述 在⊙ 上任意找一点 ，过 作 直线 ，垂足为点 .由三角形三边关系及直角三角形斜边大于直角边可得: ，而 , ，所以 ，所以点 到直线 的距离最短.类似的方法可以说明点 到直线 的距离最长. 例2如图4，在边长为2的菱形 中， 对是 边的中点， 是 边上一动点.将 沿 所在的直线翻折得到 ，连结 ，则 长度的最小值是 . 解 当点 在 边上运动时， 的长度固定不变，即 ，所以点 在以点 为圆心，1为半径的圆上运动，如图5，连接 ，与⊙ 交于点 ，此时 最短.过点 作 交 的延长线于点 .因为 ，所以 ，在 中，由勾股定理，得 . 点评 同例1，无论 点在何处，沿 翻折后，线段 的长度( )保持不变，而且点 是定点，所以点 的运动轨迹是以 为圆心，1为半径的