中考数学复习指导：等腰三角形存在性问题的解法分析

等腰三角形存在性问题的解法分析 对于存在性问题，有这样一种类型的题目:是否存在某点，使以某三点为顶点的三角形是等腰三角形.下面举例说明这类问题的解法. 一、内图外传 例1 如图1所示，在平面直角坐标系中，过点 的两条直线分别交 轴于 两点，且 两点的纵坐标分别是一元二次方程 的两个根. (1)求线段 的长度. (2)试问:直线 与直线 是否垂直?请说明理由. (3)若点 在直线 上，且 ，求点 的坐标. (4)在(3)的条件下，直线 上是否存在点 ，使以 三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请直接写出 点的坐标;若不存在，请说明理由. 分析 前面3问略，主要分析第(4)问. 由于 三点中， 两点是确定的，则可以先用以下方法确定点 的大致位置后再结合图形，利用相关图形的性质进行求解.首先分别以 和 为圆心，以 为半径作弧，其二作 的垂直平分线，确定它们与直线 的交点即可. 首先要关注 与 ，要充分利用这两个三角形中的条件.将 的条件分析讨论出来，与 与 中的条件结合进行求解. 先求直线 的解析式为: ，可求出 ，从而得 ，又可求出 ，则 . ① 时，如图1，此时， 与 重合， [来源:学.科.网Z.X.X.K] 的坐标为 . ②当 时，如图2，此时 点 的横坐标为 . 令 代入 ，得 , . ③当 时，如图3，由勾股定理可求得: . 若点 在 轴左侧，记此时点 为 ，过点 作 轴于点 , . 令 代入 ，得 , . 若点 在 轴的右侧，记此时点 为 ,过点 作 轴于点 . ， . 令 代入 ，得 , .[来源:学*科*网] 综上所述，当 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点 的坐标为 . 评注 所谓“内图外传”就是将等腰三角形本身的性质外传到其它的图形中，充分利用其它图形的条件进行问题求解.要特别关注和挖掘目标等腰三角形外的隐含条件，如本题中的两个与坐标系有关的三角形以及线段所隐含的一次函数的性质. 二、外图内传 例2 如图4，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，直线 经过坐标原点 ，与抛物线的一个交点为 ,与抛物线的对称轴交于点 ，连结 ，已知点 的坐标分别为(-2,0),