2017-2018学年人教A版高中数学选修4-1（课件+检测）：1.4直角三角形的射影定理 (2份打包)

四　直角三角形的射影定理 课后篇巩固探究 1.如图,在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,NQ=3,则MN等于(　　)[来源:学科网] A.3PN B.PN C. D.9PN 解析:∵MN⊥MP,MQ⊥PN,∴MN2=NQ·PN. 又NQ=3,∴MN=. 答案:C 2.在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,MN=3,PN=9,则NQ等于(　　) A.1 B.3 C.9 D.27 解析:由射影定理,得MN2=NQ·NP, 即32=9NQ,解得NQ=1. 答案:A[来源:Z,xx,k.Com] 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高,AD=5,BD=8,则S△CDA∶S△CDB等于(　　) A.5∶8 B.25∶64 C.25∶39 D.25∶89 解析:由题意知△CDA∽△BDC, 则. 根据射影定理,得AC2=AD·AB,CB2=BD·AB, 故. 答案:A 4.导学号52574018在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.若BC=m,∠B=α,则AD的长为(　　) A.msin2α B.mcos2α C.msin αcos α D.msin αtan α 解析:由射影定理,得AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,即m2cos2α=BD·m,m2sin2α=CD·m,即BD=mcos2α,CD=msin2α.∵AD2=BD·DC=m2cos2αsin2α, ∴AD=msin αcos α. 答案:C 5.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD∶BD=2∶3,则△ACD与△CBD的相似比为(　　) A.2∶3 B.4∶9 C.∶3 D.不确定 解析:在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理,得CD2=AD·BD,即. ∵∠ADC=∠BDC=90°,∴△ACD∽△CBD. 又AD∶BD=2∶3,令AD=2x,BD=3x(x>0), ∴CD2=6x2,∴CD=x. ∴△ACD与△CBD的相似比为,即相似比为∶3.[来源:学科网ZXXK] 答案:C 6.在△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于点D.若AD=27,BD=3,则AC=　　　　　,BC=　　　　　,CD=　　　　　.  解析:由射影定理,得CD2=AD·BD,则CD=9. 根据勾股定理,得AC==9,BC==3. 答案:9　3　9[来源:学科网ZXXK] 7.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=,AB=5,则AD=　　　　　.  解析:∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴CD2=AD·DB. ∵CD=,∴AD·DB=6. 又AB=5,∴DB=5-AD. ∴AD·(5-AD)=6,解得AD=2或AD=3. 答案:2或3 8.在Rt△ABC中,∠C=90°,a-b=1,tan A=,其中a,b分别是∠A和∠B的对边,则斜边上的高h=　　　　　.  解析:由tan A=和a-b=1,得a=3,b=2,则c=(c为∠C的对边),故h=. 答案: 9.导学号52574019如图,已知Rt△ABC的周长为48,AD平分∠BAC,且与BC交于点D,BD∶DC=5∶3. (1)求Rt△ABC的三边长; (2)求两直角边AC,BC在斜边AB上的射影的长. 解:(1)如图,设CD=3x,则BD=5x,BC=8x. 过点D作DE⊥AB于点E,易知Rt△ADC≌Rt△ADE,∴DE=3x,BE=4x, ∴AE+AC+12x=48. 又AE=AC, ∴AC=24-6x,AB=24-2x, ∴(24-6x)2+(8x)2=(24-2x)2, 解得x1=0(舍去),x2=2, ∴AB=20,AC=12,BC=16, ∴Rt△ABC的三边长分别为20,12,16. (2)过点C作CF⊥AB于点F,则AC2=AF·AB, ∴AF=. 同理得BF=.∴两直角边AC,BC在斜边AB上的射影的长分别为. 10.如图,四边形ABCD是正方形,E为AD上一点,且AE=AD,N是AB的中点,NF⊥CE于点F.求证:FN2=EF·FC. 证明:如图,连接NE,NC. 设正方形的边长为a.∵AE=a,AN=a, ∴NE=. ∵BN=a,BC=a,∴NC=. ∵DE=a,DC=a,∴EC=. ∴NE2=,NC2=,EC2=.[来源:Z+xx+k.Com] ∴NE2+NC2=.∴NE2+NC2=EC2. ∴EN⊥NC,△ENC是直角三角形. 又NF⊥EC,∴NF2=EF·FC. $$四　直角三角形的射影定理 首页 课前篇 自主预习 课堂篇 合作学习 首页 课前篇 自主预习 课堂篇 合作学习 1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端