[中学联盟]云南省峨山彝族自治县第一中学2017-2018学年人教版高中数学选修2-1备考学案：第三章 空间向量与立体几何

备考学案四 空间向量与立体几何 一、空间向量的概念与运算 1.在空间,具有大小和方向的量称为空间向量. 2.向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向. 3.向量 的大小称为向量的模(或长度),记作 . 4.模(长度)为0的向量称为零向量;模为1的向量称为单位向量. 5.与向量 长度相等且方向相反的向量称为 的相反向量,记作 . 6.方向相同且模相等的向量称为相等向量. 7.求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则.即:在空间以同一点O为起点的两个已知向量 、 为邻边作平行四边形 ,则以O起点的对角线 就是 与 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则. 8.求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:在空间任取一点O,作 , ,则 . 9.实数 与空间向量 的乘积 是一个向量,称为向量的数乘运算.当 时, 与 方向相同;当 时, 与 方向相反;当 时, 为零向量,记为 . 的长度是 的长度的 倍. 10.设 , 为实数, , 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律. 分配律: ;结合律: . 11.如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线. 12.向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量 , , 的充要条件是存在实数 ,使 . 13.平行于同一个平面的向量称为共面向量. 14.向量共面定理:空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 , ,使 ;或对空间任一定点 ,有 ;或若四点 , , , 共面,则 . 15.已知两个非零向量 和 ,在空间任取一点 ,作 , ,则 称为向量 , 的夹角,记作 .两个向量夹角的取值范围是: . 16.对于两个非零向量 和 ,若 ,则向量 , 互相垂直,记作 . 17.已知两个非零向量 和 ,则 称为 , 的数量积,记作 .即 .零向量与任何向量的数量积为0. 18. 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积. 19.若 , 为非零向量, 为单位向量,则有① ; ② ;③ , , ; ④ ;⑤ .[来源:Zxxk.Com] 20.向量数乘积的运算律:① ;② ; ③ . 例1:如图所示,空间四边形OABC中,等于( ).=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为B