第3章 导数及其应用 单元测试-【优鸿】高中选修2-1数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修2-1 第三章 空间向量与⽴体⼏何 第三章 单元测试 1. 空间四边形OABC中， 分别是 的中点，点G在线段MN上，且 ，设 ，则（      ）. A. B. C. D. 2. 在平行六面体 中，M为 与 的交点，若 ．则下列向量中与 相等的向量是(      ). A. B. C. D. 3. 在正方体 中， 分别为棱 和 的中点，则 的值为(    ). A. B. C. D. 4. 如果向量 分别平行于平面 且都与 平面的交线l垂直， 则锐二面角 的大小是(    ). A. B. C. D. 5. 已知 是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱 的中点，点 到平 面 的距离为(    ). A. B. C. D. 6. 正三棱柱 的棱长都为 为 的中点，求 与面 GEF所成角的余弦值为(      ). A. B. C. D. 7. 设向量 不平行，向量 与 平行，则实数 ________.(用数字填写答 案) 8. 已知在 中， ，则 __________. 9. 设 ，且 ，则向量 的模 ___________. 10. 正方体 的棱长为a，点M在 上，且 ，N为 的 中点，则 ________. 11. 已知向量 ，若 成 的角，则 ________. 12. 正方体 中， 分别是 的中点.异面直线AE与CF夹角 的余弦值为_______. 13. 已知点 ，以 的方向为正方向，在直线AB上有一点P且满足 ，则P点的坐标为________. 14. 在棱长为1的正方体 中， 分别是 ，CD的中点，点B到截面 的距离是________. 15. 如图，在三棱台 中，平面 平面 ， ， . (1)求证： 平面 ； (2)求二面角 的平面角的余弦值. 16. 设 分别是平面 的法向量，根据条件判断平面 的位置关系： . 17. 已知 为空间四个点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点 是否共面？ 18. 如图，已知平行六面体 ，化简 ，并在图中标出化 简结果的向量. 19. 如图，平行六面体 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 的 长为b，且 ．求： (1) 的长； (2)直线 与AC所成角的余弦值. 20. 已知空间三点 .设 . (1)求 的夹角 的余弦值； (2)若向量 与 互相垂直，求k的值. 21. 如下图所示，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，侧棱 底面ABCD， ，E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值； (2)在侧面PAB内找一点N，使 面PAC，并求出N点到AB和AP的距离. 22. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的菱形， ,且 平面 ABCD， ， 分别为 的中点. (1)证明： 平面ABCD； (2)过点A作 ，垂足为点Q，求二面角 的平面角的余弦值. 23. 如图（1），在 中， ， ，D，E分别是AC，AB上的 点，且 ．将 沿DE折起到 的位置，使 ，如图 （2）. (1)求证： 平面BCDE. (2)若M是 的中点，求CM与平面 所成角的大小. (3)线段BC上是否存在点P，使平面 与平面 垂直？说明理由. 参考答案 1 C 2 C 3 B 4 C 5 A 6 B 7 8 或 9 10 11 12 13 14 15 （1）由 为三棱台，则延⻓ 必交于⼀点，设此点为 ，如图， ∵ ， ∴ . ⼜∵平⾯ 平⾯ ，且平⾯ 平⾯ ， 平⾯ ABC， ∴ 平⾯ . ∵ 平⾯ ，且 平⾯ ， ∴ . ∵ 为三棱台， ∴侧⾯ 为梯形. ∵四边形 为梯形， 与 不平⾏， ∴ . ∵ ， ∴ 为 的中位线，即 均为 的中点， ⼜∵ ， ∴ ∴ 为等边三⻆形. ∵ 为 的中点， ∴ . ∵ ， ， ，
平⾯ ， 平⾯ ， ∴ 平⾯ . （2） 16 平⾯ ⊥平⾯ 17 点 四点共⾯ 18 设线段 的中点是点M，则 ； 19 （1） （2） 20 （1） （2） 或 21 （1） （2） 到AB和AP的距离分别为 22 （1）连接BD，如图所⽰： ∵ 分别为 的中点， ∴MN是 的中位线， ∴ . ∵ ， 平⾯ABCD， 平⾯ABCD， ∴ 平⾯ABCD. （2） 23 （1）∵在 中， ， ∴ . ⼜∵ ， ∴ . ∴ . ∵ ， 平⾯ ， ∴ 平⾯ . ∵ 平⾯ ， ∴ . ∵ ， ， 平⾯BCDE， ∴ 平⾯BCDE. （2） （3）不存在