2017-2018学年高中数学（人教B版）选修1-1 名师讲义： 第三章 3．1　导　数

3．1导__数 3．1.1　函数的平均变化率 2013年9月11日，第12届全国运动会男子1 500 m自由泳决赛，孙杨以14分53秒71的成绩夺冠． 问题1：孙杨的运动是匀速运动吗？是匀加速运动吗？ 提示：不是匀速运动，也不是匀加速运动． 问题2：如何研究孙杨在这1 500 m运动规律？ 提示：借助变化率． 函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，令Δx＝x－x0，Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，比值叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． ＝ 1.为平均变化率，其中Δx可正可负，不能为零． ＝ 2．在公式＝0. 中，当x1取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy＝0，则＝＝ INCLUDEPICTURE "深度探究下.tif" \* MERGEFORMAT 求平均变化率 [例1]　求函数y＝f(x)＝3x2＋2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [思路点拨]　先求出自变量的“增量”和函数值的“增量”，然后代入公式求解． [精解详析]　函数y＝f(x)＝3x2＋2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为 ＝ ＝ ＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在2到2.1之间的的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3. [一点通]　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0. (3)得平均变化率.＝ 1．函数y＝1－x3在0到2之间的平均变化率为(　　) A．－6　　　　　　　　 B．－8 C．4 D．－4 解析：平均变化率为＝－4. ＝ 答案：D 2．求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求x0＝1，Δx＝时平均变化率的值． 解：当自变量从x0变到x0＋Δx时，函数的平均变化率为 ＝＝4x0＋2Δx. 当x0＝1，Δx＝时， 平均变化率的值为4×1＋2×＝5. 平均变化率的应用 [例2]　(12分)