2017-2018学年高中数学（人教B版）选修1-1 名师讲义： 第一章 1．3　充分条件、必要条件与命题的四种形式

_1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式 1．3.1　推出与充分条件、必要条件 充分条件和必要条件 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关． 问题1：A开关闭合时B灯一定亮吗？ 提示：一定亮． 问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？ 提示：不一定，还可能是C开关闭合． 命题“如果p，则q”为真命题，是指当p成立时，q一定成立，我们就说由p可以推出q，记作“p⇒q”，读作“p推出q”，这时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 充要条件 如图是一物理电路图． 问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？ 提示：一定闭合． 问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？ 提示：p⇔q. 如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p或p与q等价． 1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”． 2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立． 3．当命题“如果p，则q”是假命题时，就说由p不能推出q.记作pq，读作“p不能推出q”． 充分条件、必要条件、充要条件的判断 [例1]　指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. (2)对于实数x，y，p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6. (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. (4)已知x，y∈R.p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0. [思路点拨]　首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论． [精解详析]　(1)在△ABC中， 显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件． (2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8， 但x＋y＝8x＝2且y＝6，所以p是q的必要不充分条件． (3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q， 又取∠A＝30°，∠B＝120°