2017-2018学年苏教版高中数学选修1-2互动课堂学案第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充

3.1 数系的扩充 互动课堂 疏导引导 1.复数概念的理解及两复数相等的条件 引进了虚数单位i之后，对于方程x2+1=0，当x=i时，x2+1=0成立，因此i是方程x2+1=0的一个根.由于i可以与实数进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，于是便有了形如a+bi(a、b∈R)的数——复数. 复数包括实数和虚数.两个复数相等，是指这两个复数的实部和虚部分别相等.一般地,两个复数只能说它们相等或者是不相等，而不能比较它们的大小，只有当两个复数都是实数时，才能比较它们的大小. 2.各数集(复数集、实数集、虚数集、纯虚数集)之间的关系 上述四种数集之间的关系可用图来表示.如图， 3.数的发展过程 4.注意问题 本节内容概念较多,在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系,特别要明确,实数也是复数,要把复数与虚数加以区别,对于纯虚数bi(b≠0,b∈R)不要只记形式,认为形如bi的数就是纯虚数,要注意b∈R,且b≠0. 复数z=a+bi(a、b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等的充要条件是复数问题转化成实数问题的主要方法,要很好地掌握. 要明确一个复数等式可得到两个实数等式这一性质,并在解题中会应用它. 对“两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小”的说明： (1)根据复数相等的定义知,在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di. (2)“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质： ①对于任意实数a、b来说,a＜b,a=b,b＜a这三种情况有且只有一种成立; ②若a＜b,b＜c,则a＜c; ③若a＜b,则a+c＜b+c; ④若a＜b,c＞0,则ac＜bc. 规律总结 1.设z=a+bi(a,b∈R)利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法. 2.两共轭复数在复平面内的对应点关于x轴对称，因此，它们的和为实数，差为0或纯虚数，积为实数. 3.实数的共轭复数是它本身，两纯虚数的积是实数. 4.数的概念扩展为复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定运用了.如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等等. 活学巧用 例1 实数k为何值时，复数(1+i)k2-(3