2017-2018学年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明

2.2.1 综合法和分析法 课堂导学 三点剖析 各个击破 一、利用综合法证明数学问题 【例1】如右图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,求证:PC⊥BD. 证明：(综合法) 因为PA是平面ABCD的垂线,PC是平面ABCD的斜线, 连结AC、BD,则AC是PC在底面ABCD内的射影. 又因为四边形ABCD为正方形.∴AC⊥BD. 故PC⊥BD. 温馨提示 本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析,可以得到多个证明方法,如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有AB、AD、AP两两垂直的基向量)等等. 一般地,对于命题“若A则D”用综合法证明时，思考过程可表示为(如右图). 综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演达到D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等.最终,能有一个(或多个)可推演出结论D即可. 类题演练1 用综合法证明,设a＞0,b＞0,a≠b. 证明:＞. 证明：综合法 因为a≠b，所以a-b≠0，而（a-b）2＞0，展开（a-b）2得： a2-2ab+b2＞0. 两边加上4ab得： a2+2ab+b2＞4ab. 左边写成（a+b）2得： （a+b）2＞4ab. 由于a＞0,b＞0,两边取算术平方根得： a+b＞2. 两边除以2得： . 变式提升　1 已知a＞b＞0,求证:＜. 证明：∵a＞b＞0，∴b＜,即2b＜2. 进而-2＜-2b, 于是a-2+b＜a+b-2b, 即0＜()2＜a-b, ∴. 二、利用分析法证明数学问题 【例2】求证:. 证法一：为了证明, ∵, ∴只需证明()2＜(2+)2,展开得11+＜11+,只需证＜,只需证6＜7.显然6＜7成立. ∴成立. 证法二:为了证明, 只要证明, 只要证明. ∵,∴ ∴成立.∴成立. 温馨提示 用分析法思考数学问题的顺序可表示为:(对于命题“若A则D”) 如右图,分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据,如C、C1、C2等,再寻求C、C1、C2的论据,如B、B1、B2、B3、B4等等,继而寻求B、B1、B2、B3、B4的论据,如果其中之一B的论据恰为已知条件,于是命题已经得证. 类题演练2 已知a、b、c是不全