2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：第一章集合与函数概念 （29份打包）

1.1.1 集合的含义与表示 课堂导学 三点剖析 一、集合的概念 【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由. (1){R}=R; (2)方程组的解集为{x=1,y=2}; (3){x|y=x2-1}={y|y=x2-1}={(x,y)|y=x2-1}; (4)平面内线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}. 思路分析：以上几种命题都是同学们在初学过程中极易出错的几种典型类型.处理此类问题关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法. 解：(1){R}=R是不正确的，R通常为R={x|x为实数}，即R本身可表示为全体实数的集合，而{R}则表示含有一个字母R的集合，它不能为实数的集合. (2)方程组的解集为{x=1,y=2}是不对的,因为解集的元素是有序实数对(x,y)，正确答案应为{(x,y)|}={(1,2)}. (3){x|y=x2-1}={y|y=x2-1}={(x,y)|y=x2-1}是不正确的. {x|y=x2-1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{x|y=x2-1}={x|x∈R}=R. {y|y=x2-1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{y|y=x2-1}={y|y≥-1}. {(x,y)|y=x2-1}表示点的集合，这些点在二次函数y=x2-1的图象上. (4)平面上线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}是正确的. 温馨提示 正确理解集合表示方法对以后的学习有极大帮助.特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为{(x,y)|}的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么. 【例2】 已知a∈{1,-1,a2}，则a的值为______________________. 解析：处理该类问题的关键是对a进行分类讨论，利用元素的互异性解题. ∵a∈{1,-1,a2}, ∴a可以等于1，-1，a2. (1)当a=1时，集合则为{1，-1,1}，不符合集合元素的互异性.故a≠1. (2)同上，a=-1时也不成立. (3)a=a2时，得a=0或1，a=1不满足舍去，a=0时集合为{1,-1,0}. 综上，a=0. 答案：0 温馨提示 集合元素的互异性指集合中元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关.因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性. 二、运用集合的两种表示方法正确地表示集合 【例3】 用列举法表示下列集合. (1){y|y=x2-2,x≤3,x∈N}; （2）{(x,y)|y=x2-2,x≤3,x∈N}. 思路分析：首先认准描述法所表示集合的代表元素，然后根据条件求其值，用列举法将集合中的元素不计次序、不重复、不遗漏地列出来. 解：(1)因为x≤3,x∈N，所以x=0,1,2,3.所以y=-2,-1,2,7.所以{y|y=x2-2,x≤3,x∈N}用列举法表示为{-2，-1，2，7}. （2）由上题可知，{（x,y）|y=x2-2,x≤3,x∈N}用列举法表示为{(0,-2),(1,-1),(2,2),(3,7)}. 温馨提示 列举法适合于表示集合是有限集，且元素个数较少，但有时也可表示无限集或个数较多的集合，如：{1，2，…，n,…}. 【例4】 用描述法表示下列集合. （1）偶数集; （2）{2，4，6，8}; （3）坐标平面内在第一象限的点组成的集合. 解：（1）{x|x=2n,n∈Z}； (2){x|x=2n,1≤n≤4,n∈Z}； (3){(x,y)|x>0,且y>0}. 温馨提示 用描述法表示集合时，要弄清楚元素的特征，使其具有符合性质的都属于集合，不具有性质的不属于集合. 三、集合概念再理解 【例5】 判断以下对象的全体能否组成集合. (1)高一·一班的身高大于1.75 m的学生； (2)高一·一班的高个子学生. 思路分析：该例贴近于现实生活，能较好地帮助同学们正确理解集合元素的确定性. 解：(1)高一·一班中身高大于1.75 m的学生是确定的，因此身高大于1.75 m的学生可以组成集合. (2)高一·一班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合. 温馨提示 判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，而不是模棱两可. 各个击破 类题演练1 (1) 下列命题是假命题的个数为_______________________. ①{1,2}={