函数的性质及运用-2023-2024高一必修一同步讲义

函数的性质及运用 【考纲解读】 1、理解增函数，减函数，函数单调性，函数单调区间，奇函数，偶函数，函数奇偶性， 周期函数的定义： 2、掌握判断（或证明）函数单调性，函数奇偶性和函数周期性的基本方法： 3、能够熟练运用函数单调性，函数奇偶性和函数周期性解答相关的数学问题。 【知识精讲】 一、函数的单调性： (一)函数单调性的基本概念： 1、增函数的定义：设D是函数x)定义域的子集，任取x,x∈D,且x<x2,如果( 5)>f(x)都成立，则称函数x)是区间D上的增函数： 2、减函数的定义：设D是函数x)定义域的子集，任取x,七2∈D,且x<x2·如果( x)<f(x)都成立，则称函数x)是区间D上的减函数： 3、函数的单调性的定义：函数具有增函数（或减函数）的性质，称为函数的单调性： 4、函数的单调区间的定义：函数增函数（或减函数）的区间，叫做函数的单调区间。 (二)判断（或证明）函数单调性的基本方法： 1、判断（或证明）函数单调性的基本方法： (1)判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法：②图像法： (2)图像法的基本方法是：①作出函数的图像；②确定判街（或证明）函数单调性的区 间：③在函数的图像上找到相应的区间：④根据函数图像得出函数的单调性： (3)定义法的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）函数单调性的区 间；③在相应的区间上任取x,x2,且x<x2:④比较函数值(x),f(x)的大小：⑤ 根据④得出函数的单调性。 2、比较函数值(x,),f(x)的大小的基本方法： (1)比较函数值x),「(x)的大小的基本方法有：①求差法：②求商法： (2)求差法的函数值f(x,),f(x)的大小基本方法是：①求出函数值f(x,)-f(x)的差： ②把①中的差与数0作比较：③根据②得出函数值(x,),f(x)的大小： (3)求商法的基本方法是：①求出函数值四的商，②把O中的商与数1作比较，③根 (x) 据②得出函数值(x),f(x)的大小。 3、判断（或证明）含有参数的函数单调性的基本方法： 判断（或证明）含有参数的函数单调性的基本方法是：①根据参数分类讨论的原则和基本 方法对参数进行恰当的分类：②对参数的每一个取值范围运用判断（或证明）函数单调性 的基本方法判断（或证明）函数的单调性：③综合得出问题的结果。 4、理解函数单调性应该注意的问题： (1)讨论函数的单调性必须在函数的定义域内进行，原因是函数的单调区间是函数定义域 的子集： (2)函数的单调性是一个区间概念，即使函数在定义域内的各个区间都是增（或减）函 数，也不能说函数在定义域内是增（或减）函数： (3)函数的单调区间可以是开区间，也可以是闭（或半开半闭）区间：对于闭区间上的连 续函数只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调： (4)函数单调性的变化是求函数值域和最值的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断 函数的单调性，是求函数值域和最值的前提，同时函数图像是函数单调性的最直观体现。 (三)函数单调性的运用： 1、函数单调性运用问题的主要类型： 函数单调性的运用问题主要包括：①已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取 值范围)：②运用函数的单调性求函数的值域（或最值）：③己知函数的单调性，求不等式 的解集。 2、函数单调性运用问题的处理方法： (1)求解已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：① 根据函数的单调性得到关于参数的不等式（或不等式组）：②求解不等式（或不等式组）求 出参数的取值范围：③得出参数的值（或取值范围）： (2)求解运用函数的单调性求函数值域（或最值）的基本方法是：①判定（或证明）函数 在某一区间的单调性：②根据函数的单调性求出函数在该区间上的最大值（或最小值）：③ 得出函数在给定区间上的值域（或最值）： (3)求解已知函数的单调性，求不等式的解集的基本方法是：①根据函数的单调性得到关 于自变量x的不等式（或不等式组）：②求解（不等式）（或不等式组）求出自变量x的取 值范围；③得出不等式的解集。 二、函数的奇偶性： (一)函数奇偶性的基本概念： 1、奇函数的定义：设函数yx)的定义域为A,如果对任意的x∈A,都有f(-x)=-fx)成 立，则称函数y=x)为定义域A上的奇函数。 2、偶函数的定义：设函数y=x)的定义域为A,如果对任意的x∈A,都有(-x)x)成 立，则称函数y=x)为定义域A上的偶函数。 3、函数的奇偶性的定义：函数y(x)具有奇函数（或偶函数）的性质，称为函数y=x)的 奇偶性。 4、理解函数奇偶性应注意的问题： (1)函数x)可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是码函数，也可以既 不是奇函数又不是偶函数：但函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称： (2)函