三精考点之高中数学（必修1）最基础考点系列：考点13 函数的模型及其应用

专题12 函数的模型及其应用 函数的模型及其应用 ★★★ ○○○○ 1．常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．学-科网 2．三种函数模型之间增长速度的比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同[来源:Zxxk.Com] 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 3.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础． 2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值． 3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原． [易错点] 1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型． 2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．学+科网 3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 1．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　) A．100只　 B．200只 C．300只 D．400只 2．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cos x 3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(　　) 1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50[来源:学科网] 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2 x 2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是(　　) A．118元 B．105元 C．106元 D．108元 3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2­9­2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. 图2­9­2 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　) A．① B．①② C．①③ D．①②③ 4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为(　　) A．85元 B．90元 C．95元 D．100元 5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为(　　) A．5　　　　 B．8 C．9　　　　 D．10 6．在如图2­9­3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m. 图2­9­3 7．