2017-2018学年人教B版数学选修1－2（课件+检测）：2．2　直接证明与间接证明 (6份打包)

课时作业2-7 (限时：10分钟) 1．下面关于反证法的说法正确的是(　　) ①反证法的应用需要逆向思维；②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可． A．①②　 B．①③ C．②③ D．③④ 解析：反证法是一种间接证明方法，利用逆向思维且否定结论时，一定要全面否定，不能只否定一点，故①②正确，④错误；反证法推出的矛盾可以与已知条件相矛盾，故③错误． 答案：A 2．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　) A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数 解析：“至少有一个”的反面是“一个也没有”，即a，b，c都不是偶数． 答案：B 3．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n，使得an＝bn.但若a＞b，n∈N*，则恒有a·n＞b·n，从而an＋2＞bn＋1恒成立，故不存在n，使得an＝bn，故应选A. 答案：A 4．设0<x，y，z<2，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)中至少有一个不大于1. 证明：证法一：假设x(2－y)>1，y(2－z)>1，z(2－x)>1均成立，则三式相乘，有xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.① 由于0<x<2， ∴0<x(2－x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1. 同理，0<y(2－y)≤1,0<z(2－z)≤1. ∴三式相乘，得0<xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1.② ②与①矛盾，故假设不成立． ∴x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)中至少有一个不大于1. 证法二：假设x(2－y)>1，y(2－z)>1，z(2－x)>1均成立， ∴>3.③＋＋ 而＝3.④＋＋≤＋＋ ④与③矛盾，故假设不成立， ∴原题设结论成立． (限时：30分钟) 1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤： ①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线． 则正确的序号顺序为(　　) A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③① 解析：根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②. 答案：B 2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”． 答案：A 3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析：假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C. 答案：C 4．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 解析：分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角．而∠ADC＞∠BAD，∠ADC＞∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝时，才符合题意． 答案：B 5．设a，b∈(0，＋∞)，则a＋(　　)，b＋ A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 解析：假设a＋至少有一个不小于2.，b＋≥2＋2＝4.这与①式相矛盾，故假设不成立，即a＋＋＝＋b＋＜4.①　又a，b∈(0，＋∞)，所以a＋＋＜2，则＜2，b＋ 答案：D 6．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时的假设为__________． 解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP. 答案