2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用学案

3.3导数在研究函数中的应用 3．3.1　单 调 性 已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝. 问题1：试作出上述三个函数的图像． 提示：图像为 问题2：试根据上述图像说明函数的单调性． 提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数． 问题3：判断它们导函数的正负． 提示：y1′＝1>0；y2′＝2x， 当x>0时，y2′>0， 当x<0时，y2′<0，y3′＝－<0. 问题4：由问题2、3试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系． 提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数． 问题5：试用y＝ex，y＝e－x说明函数的单调性与其导函数正负的关系． 提示：y＝ex的导函数y′＝ex>0，所以y＝ex在R上为增函数，y＝e－x的导函数y′＝－e－x<0，所以y＝e－x在R上为减函数． 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系 导数 函数的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 f′(x)＝0 常数函数 1．函数的单调性与导数的关系可以利用导数的几何意义解释，导数大于零，切线的斜率大于零，函数单调增加；即该函数是增函数；反之，函数为减函数． 2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件，若出现个别点的导数为零，不影响函数在该区间上的单调性．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，而f(x)＝x3在R上是增函数． 判断或证明函数的单调性 [例1]　求证函数f(x)＝sin x＋tan x在内为增函数． [思路点拨]　先利用求导法则求出导数f′(x)，再证明f′(x)在内恒正，得出结论． [精解详析]　∵函数f(x)＝sin x＋tan x在内恒有意义，且f′(x)＝(sin x)′＋(tan x)′ ＝cos x＋ ＝cos x＋. ＝ 又∵x∈， ∴0<cos x≤1， ∴f′(x)>0， ∴y＝f(x)在内为增函数． [一点通]　 用导数判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的步骤： (1)求出y＝f(x)的导数f′(x)； (2)证明导数y＝f′(x)在区间(a，b)内恒正(恒负)； (3)下结论y＝f(x)在区间