高中数学破题致胜微方法（点、直线与抛物线的位置关系）：一、点与抛物线的位置关系

本内容主要研究点与抛物线的位置关系，类似于点与圆、点与椭圆、点与双曲线的位置关系，点与抛物线的位置关系有三种，即点在抛物线外，点在抛物线上，点在抛物线内.我们约定：在直角坐标平面上，含有焦点的区域为抛物线的内部,不含有焦点的区域为抛物线的外部. 先看例题： 例：若直线 与抛物线 有两个公共点，求实数k的取值范围 解：直线恒过一定点 ，且定点 抛物线内部， 当K=0时,直线 与抛物线 只有1个公共点，不合题意. 当 时,直线 与抛物线 有两个公共点. 因此 . 整理： 含有焦点的区域为抛曲线的内部,不含有焦点的区域为抛物线的外部. 点 在抛物线 内的充要条件是 ； 点 在抛物线 上的充要条件是 ； 点 在抛物线 外部的充要条件是 . 再看一个例题，加深印象 例：已知x2+y2-4x+3<0，求证：y2<3x . 证明：条件表示圆心在（2，0）、半径为1的圆内部分（不包括边界）.而y2<3x表示顶点在原点、开口向右的抛物线y2=3x的含焦点的区域（如图）. 显然圆心（2，0）在区域y2<3x内，联立方程组 ，消去y2得，x2-x+3=0， 该方程无实根，所以圆与抛物线不相交，故圆内的任意一点 必在区域y2<3x内.因此，当x2+y2-4x+3<0时，y2<3x成立. 总结： 1.点 在抛物线 内的充要条件是 ； 点 在抛物线 上的充要条件是 ； 点 在抛物线 外部的充要条件是 . 2.根据点与抛物线的位置关系，得到一些不等式，可以求出参数的取值范围. 3.根据点与抛物线的位置关系，可以得到过定点的直线与抛线的位置关系. 练习： 1.已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 2.直线L过抛物线y2=2px (p≠0)的焦点，斜率存在且不为0，试问：在抛物线上是否存在关于直线L对称的两点？说明理由. 3．过点P(0, 2)且与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 答案： 1. 2. 解：设直线L斜率为k(k≠0)， 假设抛物线上存在两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于L对称，M(x0,y0)是线段AB