学案56 正弦函数，余弦函数的单调性与最值-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 课 学案56正弦函数、余弦函数的单调性与最值 记 昆学习任务 l.会求函数y=Asin(wx十p)及y=Acos(wωx十p)的单调区间.（数学运算） 2.能利用单调性比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题.（逻辑推理、数学运算） 课堂活动 厅新知生成 活动一探究正弦函数、余弦函数的 表中k∈Z 单调性与最值 正弦函数 余弦函数 阄新知导学 阅读教材第204一205页，完成下列问题. 图象 问题1观察正弦函数y=sinx,x∈ π3π] 22] 的 值域 图象，当x由 2增大到经时，曲线是如何变 在 在 化的？相应函数值又是怎样变化的？ 上单调递增，在 上单调递增，在 单调性 人 上单调递减 单调递减 当x= 当x= 时，ymx=1;当 x 时，ymax=1;当x= 最值 时， ymin=-1 时，ymin-一1 新知应用 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出 取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出 最大值、最小值， (1)y=cosx+1,x∈R; 问题2观察余弦函数y=cosx,x∈[一π，π]的 (2)y=-3sin2x,x∈R; 图象，当x由一π增大到π时，曲线是如何变化 (3)y=cos2x-sin x+1. 的？相应函数值又是怎样变化的？ 1172 正弦函数、余弦函数的单调性与最值学案56 「方法总结」三角函数最值问题的3种常见类 2.求函数y=2si(女一)的单调区间。 听 型及求解方法 (1)形如y=asin x(或y=acos x)型，可利用正 课笔记 弦函数（或余弦函数）的有界性，注意对a正负的 讨论 (2)形如y=Asin(aωx十p)+b(或y=Acos(wx+ 9)十b)型，可先由定义域求得ωx十9的范围，然 后求得sin(wx十p)(或cos(wx十p)的范围，最 后求得最值. (3)形如y=asin2x+bsin x十c(a≠0)型，可利用 换元思想，设t=sinx,转化为二次函数y=at2十 b十c求最值，t的范围需要根据定义域来确定. 活动二求正弦函数、余弦函数的单调区间 可新知应用 1.求函数y=sn(兮c+引，x[-2x,2]的单 母题变式：求函数f(x)=2sim(e-》,x∈[0， 调递增区间. 2π]的单调区间. 17310 人教A版数学必修第一册 听 「方法总结」求解与正弦、余弦函数有关的单调 课堂小结 区间的两个技巧 笔 (1)数形结合法：结合正弦、余弦函数的图象，熟记 求单调区间 它们的单调区间. 正弦、余弦函数 的单调性 比较大小 (2)整体代换：在求形如y=Asin(wx十p)(其中 A,w,p为常数，且A≠0，w>0)的函数的单调区 最值（或值域） 间时，应采用整体代换，将“ωx十p”看作一个整体 “z”,即通过求y=Asin之的单调区间而求出原 课堂达标 函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx十9)（其中 1.下列命题中正确的是 () !A,w,p为常数，且A≠0，w>0)的函数的单调区 A.y=cosx在第一象限和第四象限内单调 、 间的方法同上. 递减 话动三利用三角函数的单调性比较大小 B.y=sinx在第一象限和第三象限内单调 递增 新知应用 C.y=cosx在 元π 22 上单调递减 不通过求值，比较下列各组数的大小： a)sin(-8)与sin-8): D.y=sin x -22 上单调递增 2.函数y=2-sinx的最大值及取最大值时x的 (2)cos(-28）与cos-17）: 值为 () (3)cos1与sin1; A.ymax-3,2 (4)sin164°与c0s110°. By=1x=+2kxk∈20 C.ym=3,x=-2+2kxk∈刀 π D.ymx=3,x=2+2kπ(k∈Z) 3.fx)=sim号在区间0 π 上的最大值为 ( 1 A.1 b c日 4 D.3 π 4.设a=sin12b=sin5,c=sin6,则a,b,c的 大小关系是 () A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.6<a<c 「方法总结」比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. 5.(多选)已知函数fx)=sin+）在x,处取 (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区 得最值，则x。可能是 () 间上. !(3)利用函数的单调性比较大小 A、2x B. C.3 0.2 1174 正弦函数、余弦函数的单调性与最值学案56 6.(2021·新高考I卷)下列区间中，函数f(x) 9.若函数)一a-bsin的最大值为号，最小值为 听 -7sm女一）单调递指的区间是 记 A(o,》 B(经 (1)求a,b的值； c(,3】 D.(2) (2)求函数y=一asin x取得最大值时x的值； (3)请写出函数y-一asin x的图象的对称轴 7.函数f(x)=c0s2z-）的单调递减区间 方程 是 8.求函数y=cosz-sin,x∈[营引的最大 值和最小值. 课后反思 17510可知函数f(x)=sim(2x-)为偶函数，排除C,故D正确。 故选AD.] 6.sinπx(答案不唯一)[因为基本初等函数中既为周期函数 又为奇函数的函数为y=sinx,所以此题可考虑在此基础上 调整周期使其满足题意.由此可知f(x)=sinx且T=。 2π →f(x)=sin元x.] 2.(-1）=f(受×(-3)+) =(）-血”要」 学案56正弦函数、余弦函数的 单调性与最值 课堂活动 活动一探究正弦函数、余弦函数的 单调性与最值 新知导学 问题1提示：当x由-受增大到受时，曲线遂渐上升，smx 的值由-1增大到1；当x由增大到时，曲线逐渐下降， sinx的值由1减小到-1. sinx的值的变化情况如表所示： 0 3π 2 2 2 sin x 0 1 0 问题2提示：当x由一π增大到0时，曲线逐渐上升，c0sx的 值由一1增大到1；当x由0增大到π时，曲线逐渐下降，c0sx的 值由1减小到一1. 余弦函数在一个周期区间（如[一π，π]）上函数值的变化规律 如表所示： x 2 cos z-1 0 1 0 新知生成 [-1,1][-1,1] [2+2,+2x] [登+2x,3经+2k不 [-π+2kx,2kπ][2kπ，π十2kπ] 受+2k-登+2张x2kxx+2x 新知应用 解：容易知道，这三个函数都有最大值、最小值. (1)使函数y=cosx十1，x∈R取得最大值的x的集合，就是 使函数y=cosx,x∈R取得最大值的x的集合 {x|x=2kπ，k∈Z}; 使函数y=c0sx十1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使 函数y=cosx,x∈R取得最小值的x的集合 {x|x=(2k+1)π，k∈Z}. 函数y=cosx十1，x∈R的最大值是1+1=2，最小值是一1 +1=0. (2)令z=2x,使蓝数y=一3sinz,z∈R取得最大值的z的 集合，就是使y=sinz,z∈R取得最小值的z的集合 {ee=-登+2xeez 由2红==-受十2张，k∈Z,得x=-十kx,k∈乙 所以，使函数y=一3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是 {=-晋+k,kez. 同理，使函数y=一3sin2x,x∈R取得最小值的x的集合是 {女|k=至+x,ke. 函数y=-3sin2x,x∈R的最大值是3，最小值是-3. (3)令t=sinx,则cos2x=1-sin2x=1-t2, 所以y=-t2-t+2,t∈[-1,1]. 所以y=-4+2=-(+号）广+是4[-11 当=分中油=日=云+长刀成=晋 +2kx(k∈ZD时，函数y=cos2x-sinx十1取得最小值，x的集合 是女=晋+2张或x=-誓+2吸e2到y=号： 9 当1=1，即sinx=1,x=受+2x(k∈Z)时，函数y=c0s2x 一smx+1取得最小值，x的集合是{2x=受+2x,∈Z, ymin-0. 活动二求正弦函数、余弦函数的单调区间 新知应用 1解：令号+管e[-2,2,则∈[号音] 因为y=曲[智剖的华满适增层同无 所以画数y=sm(分十子）x∈[-2,2]的单调通增区同 [] 2.解：令z=x-分，则)y=2inz ”2=x一写是增函数， ∴y=2sin之单调递增时， 函数y=2sin(x-哥）也单调递增. 由：∈[2-受，2x+]∈D, 得-∈[2xx+]∈D, 即x[2kx-吾，2kx+]∈, 71 故函数y=2sim(x-子)的单洞递增区间为 [2x-吾，2+∈z 同理可求得函数y=2sin(x-牙）的单调递减区间为 [x+晋2x+e 母题变式：解：由原题知f(x)=2sin(x一于）的单调递增区间 为[2x-若，2x+]∈z. 6 又eo205晋号<<2 同理函数f(x)=2sim(x-）x∈[0,2x]的单调递减区间 [昏 ∴函数f(x)=2sin(z-哥)，x∈[0,2x]的单词道增区间为 [o,],[,2]单调递浅区网为[，1， 活动三利用三角函数的单调性比较大小 新知应用 解，0周为-<-<-8<0 正孩函数y=如x在区问[合0]上单调递增， 所以sm(-)>sin(): 3π 国为0K行<智<，且禹数y=msx在区间[0，]上单 调递减， 所以cos子>cos, 即cos(1)>co(-2） (3)因为cos1=sim(登-又0<受-1<1<受，且画数y =sinx在[0，]上单润递增 所以sin(受-1）<sin1,即eos1Ksn1. (4)sin164°=sin(180°-16)=sin16°， cos110°=cos(90°+20)=-sin20° =sin(-20). 国为画数y=nx在[受，]上单调运增， 所以sin(-20)<sin16°， 即cos110°<sin164°. 课堂达标 1.D[对于y=cosx,该函数的单调递减区间为[2kπ，元十 2kπ]，k∈Z,故A错误，C错误；对于y=sinx,该函数的单调 172 递增区间为[登+2，受+2k],∈Z,故B错误，D正 确.故选D.] 2.C[:y=2-sinx,.当sinx=-1时，ymx=3,此时x= -合+2张x∈D.故选C.] 3A[国为x∈[0，]所以re[0,]: 结合三角画数的图象及性质，可知函数x)在[0，]上单 调递增， 所以fx)=f(行）=1，故选A] 4A[y=如x在[0，]内单润适增，又8<看<晋， sm是m看<sn后ia<c<b.故速A] 5.AC[当十音-受+，EZ时，f)取得最值取及= 0,-1,则=号或-行特合题高：故选AC] 6,A[法-（室规求法）：令-吾+2<x-晋≤受+20x,0 ∈Z,得-号+2≤x<行+2rk∈Z.取k=0,对-号≤ ≤警月为6》[后]，片以区风(6)是数 f(x)的单调递增区间.故选A. 法二（判断单明性法）：当0<x<受时，一晋<x一看<行， 所以f)在(0，）上单调适增，故A正确；当<x<元 时，智<一晋<晋所以f)在（货）上不单调，故B不 正确：当<x<受时，晋<红-百<行，所以fx)在 (,）上单调适流，故C不正瑞；当经<<时，暂<红 晋<若所以fx)在（受，2）上不单洞，故D不正确，故 选A.] 7[后+k,餐+k]∈D[◆2x≤2z-晋≤x+2x ∈Z), 得晋+k≤z<爱+kxk∈D, 即函数∫(x)=c0s(2红-)的单调递减区间是 [管+k管+r]∈z.] 8.解：y=cos2x-sinx=1-sin2x-sinx =-(mx+)+ 所以当sinz=一2，即x=一石时，画教取得最大值，y= 1 ：当血一号印云一子时，画数取将菜小信9m一名 5 1 2 21 9.解：(1)因为-1≤sinx≤1， a+b=2 3 所以当b>0时，有 解得=2 1 a-b=- 2 b=1. 3 la-b=- 29 1 当b<0时，有 。解得 a= 2 1 [a+b=- 2 b=-1. (2)由(1)知a=2,所以函数y=一asin=-2sint,所以 当2=2kx一受k∈刀时，画教)=一a血工取得资大值， 1 (3)函数y=-asin x=一 2sinx,所以其图象的对称轴方程 为x=T十kπ(k∈Z). 学案57正切函数的性质与图象 课堂活动 活动一探究正切函数的定义域、周期性 与奇偶性 新知导学 问题1 提示：女x≠受+x,∈Z, 问题2提示：tan(x十x)=tanx说明y=tanx是周期函数， tan(一x)=一tanx说明y=tanx是奇函数. 问题3提示：对称中心为（凭，0）∈D。 新知生成 奇周期π 新知应用 1.C[由正切画最的定义城，令受十至kx+受∈乙。 即x≠2x+2(∈Z), 所以画教f(x)=-3an(受+买）的定义域为 {女x≠2x+受，keZ 故选C.] 2.A[函数f(x)=tan(wz十p)的最小正周期T=m,直接 利用公式，可得T-产一子故选A] 3.A[f(x)=os(经-x）+tanx=sinx+tanx,共定义域 为{小受+∈定义接关于原点对称，《一) sin(-x)十tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x),故函数 f(x)为奇函数.] 4.BD[对于A,由f(x)=3tan2x,故f(x)的最小正周期T =2,故A错误； 对于B,由题南得2红受十x便∈Z0,即x≠至+经 2 (k∈Z),故B正确； 对于C,国象的对称中心是（停0），C错误： 对于D/)的定义线为≠景+经∈2， f(-x)=3tan(-2x)=-3tan2x=-f(x), 故f(x)是奇函数，故D正确 故选BD.] 5号ez到 [由题意可知，要使tanx有意义，则x ≠受十+∈Z, 又tanx≠0，解得x≠kπ，k∈Z, 综上可得x≠π， F2,k∈z, 所以y=品的定义越为：≠经k长z小】 活动二用性质探究正切函数的图象 新知导学 问题4提示：AT-amx.当x∈[0，）时，线段AT的长度 就是相应角x的正切值.我们可以利用线段AT画出函数y -tan z∈[0，受)的图象，如图所示。 0 问题5提示：根据正切函数是奇函数，只要画y=tanx,x∈ [0,)的图象关于原点的对称困形，就可得到y=anx,t ∈（受0）]的图象：根务正切面数的周期性，只受起通数) =1amx,x(受，受)的因象向左，右平移，海次半移天个 单位长度，就可得到正切函数y=an工，x∈R,且工≠受十 kπ，k∈Z的图象 新知应用 1.B[因为函数f(x)=2x·tanx(一1<x<1),所以f(一x) =一2x·tan(-x)=2x·tanx=f(x),则函数f(x)为偶函 数，图象关于y轴对称，故排除A,C选项； 又f(1)=2X1×tan1=2tan1>0,故排除D选项 故选B.] 2.D[y=an(-z)=-tnx在(-2，受）上单调递减，只有 图象d符合，即d对应③.故选D.] 731