第5章 第3节 平面向量的数量积及应用(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了平面向量数量积及应用专题，涵盖数量积概念、运算律、投影向量及垂直、模、夹角等应用考点，按“概念-运算-应用”层次架构知识网络，通过填空式梳理和题组练透引导学生自主构建知识体系，体现考点的系统性与层次性。 亮点在于诊断性题组与方法指导结合，开篇设置4道基础题组练透，配套全国卷真题演练，学生可自主诊断薄弱点，每个考点附方法总结如数量积计算三法，培养数学思维与数学语言表达能力，助力学生自主提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第3节　平面向量的数量积及应用 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角. 　　 平面向量的数量积 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则　　　＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　　　　　　叫做向量a与b的数量积，记作a·b，若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其坐标表示为a·b＝　　　　　. 提醒：（1）a·b是数量； （2）零向量与任一向量的数量积为0. 3.向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a； （2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）； （3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c. 结论：平面向量数量积运算的常用公式 （1）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2； （2）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2c·b； （3）（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2. 题组练透 1.已知向量a，b夹角的余弦值为－，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则（a－b）·（b－2a）＝（　　） A.－36 B.－12 C.6 D.36 2.〔一题多解〕（2023·全国乙卷6题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝（　　） A. B.3 C.2 D.5 3.已知向量＝（－1，2），＝（2，t），且·＝6，则t＝（　　） A.4 B. C.2 D. 4.（2026·湖北黄冈模拟）已知等腰直角△ABC的斜边AB长为2，设＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝（　　） A.6 B.－6 C.4 D.－4 计算平面向量数量积的主要方法 （1）利用定义：a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞； （2）利用坐标运算：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2； （3）利用基底法求数量积. 投影向量 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量，记为＝｜a｜cos＜a，b＞·＝·. 提醒：｜a｜cos＜a，b＞称为a在b上的投影数量，数量积a·b的几何意义：a·b等于a在b上的投影数量与｜b｜的积. （1）已知向量a，b满足a＝（1，），a⊥（a＋2b），则b在a上的投影向量的坐标为　　　　； （2）若向量a，b满足｜b｜＝3，a·b＝－9，则a在b上的投影向量是　　　　. 听课记录 投影向量的两种求法 （1）用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量； （2）利用公式，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜·cos＜a，b＞·. 提醒　a在b上的投影向量与b在a上的投影向量的区别. 练1 （1）（2026·山东泰安模拟预测）已知向量a＝（－3，1），b＝（－1，2），则a－2b在b上的投影向量坐标为（　　） A.（ ，） B.（ －，－） C.（－1，2） D.（1，－2） （2）若向量a，b满足a＝（1，），（a－b）·（a－3b）＝15，且a在b上的投影向量为－2b，则a·b＝（　　） A.2 B.－2 C.1 D.－1 平面向量数量积的应用 已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ. 向量表示 坐标表示 模 ｜a｜＝ ｜a｜＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 ｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤ 角度1　向量的垂直 （1）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 （2）已知平面单位向量m，n满足m⊥（m－2n），则（m＋2n）·m＝（　　） A.2 B.－2 C.1 D.－1 听课记录 有关向量垂直的两类题型 角度2　向量的模 （1）（2025·全国Ⅱ卷12题）已知平面向量a＝（x，1），b＝（x－1，2x），若a⊥（a－b），则｜a｜＝　　　　； （2）〔一题多解〕设a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则｜a－b｜＝　　　　. 听课记录 求平面向量的模的两种方法 角度3　向量的夹角 （1）（2026·江苏盐城模拟）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜a－b｜＝，则a，b的夹角为（　　） A. B. C. D. （2）已知向量a＝（5，5），b＝（λ，1），若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为　　　. 听课记录 1.求平面向量的夹角的方法 2.a，b的夹角与a，b的关系 （1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立； （2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立. 练2 （1）（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　） A.　　　B. C.　　　D.1 （2）〔多选〕已知单位向量a，b的夹角为120°，则以下说法正确的是（　　） A.a·b＝－ B.｜a＋b｜＝1 C.（a＋2b）⊥a D.cos＜a－b，b＞＝ （3）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝　　　　. 提示：完成课后作业　第五章　第3节 答案 第3节　平面向量的数量积及应用 考点一 1.∠AOB　 2.｜a｜｜b｜cos θ　x1x2＋y1y2 题组练透 1.A　（a－b）·（b－2a）＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2＝3×4×1×（ －）－1－2×16＝－36.故选A. 2.B　法一　由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝（＋）·（－＋）＝－｜｜2，由题意知｜｜＝｜｜＝2，所以·＝4－1＝3.故选B. 法二　以点A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则＝（1，2），＝（－1，2），·＝－1＋4＝3.故选B. 3.D　＝－＝（3，t－2），又·＝6，所以·＝－1×3＋2×（t－2）＝6，解得t＝.故选D. 4.D　∵（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－4.故选D. 考点二 【例1】　（1）（ －，－）　（2）－b 解析：（1）由题设a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，则a·b＝－2，所以b在a上的投影向量为·＝·（1，）＝（ －，－）. （2）a在b上的投影向量是｜a｜cos＜a，b＞·＝·＝×＝－b. 练1　（1）D　（2）B　解析：（1）因为a－2b＝（－3，1）－2（－1，2）＝（－1，－3），则（a－2b）·b＝－1×（－1）＋（－3）×2＝－5，｜b｜＝＝，故a－2b在b上的投影向量为·＝·（－1，2）＝（1，－2）.故选D. （2）由a＝（1，）得｜a｜＝2，因为a在b上的投影向量为·＝－2b，所以a·b＝－2｜b｜2，因为（a－b）·（a－3b）＝｜a｜2－4a·b＋3｜b｜2＝15，所以22＋8｜b｜2＋3｜b｜2＝15，解得｜b｜2＝1，所以a·b＝－2. 考点三 x1x2＋y1y2＝0 【例2】　（1）D　（2）A　解析：（1）法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D. 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2.故选D. （2）由m⊥（m－2n），则m·（m－2n）＝m2－2m·n＝0，即2m·n＝m2＝1，则（m＋2n）·m＝m2＋2m·n＝1＋1＝2.故选A. 【例3】　（1）　（2）　解析：（1）a－b＝（1，1－2x），根据a⊥（a－b），得a·（a－b）＝x＋1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，所以｜a｜＝. （2）法一　∵a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，∴（a＋b）2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，∴｜a－b｜＝. 法二　如图，设＝a，＝b，利用平面向量的平行四边形法则得＝a＋b，∵｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜＝1，∴△OAC为正三角形，∴｜｜＝｜a－b｜＝2××｜a｜＝. 【例4】　（1）A　（2）（－7，1）∪（1，7） 解析：（1）因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜a－b｜＝，所以｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝5－2a·b＝5，故a·b＝0，所以a⊥b，即a，b的夹角为.故选A. （2）由题可得（a＋b）·（a－b）＞0，即a2－b2＞0，52＋52＞λ2＋12，∴－7＜λ＜7，若a＋b＝k（a－b），则解得综上，λ的取值范围为（－7，1）∪（1，7）. 练2　（1）B　（2）ABC　（3）5　 解析：（1）因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B. （2）对于A，a2＝b2＝1，a·b＝1×1×cos 120°＝－，A正确；对于B，因为（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2×（ －）＝1，所以｜a＋b｜＝1，B正确；对于C，因为（a＋2b）·a＝a2＋2a·b＝1＋2×（ －）＝0，所以（a＋2b）⊥a，C正确；对于D，因为（a－b）·b＝a·b－b2＝－－1＝－，（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝3，所以cos＜a－b，b＞＝＝＝－，D错误.故选A、B、C. （3）由题意得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $