高中数学破题致胜微方法（点、直线与抛物线的位置关系）：二、直线与抛物线相交

本内容主要研究直线与抛物线相交，即直线和抛物线有两个公共点，或一个公共点(直线和抛物线的对称轴平行或重合).直线方程与抛物线方程联立，消去 或 得到关于 或 的一元二次方程或一元一次方程，则（1）一元一次方程情形，直线与抛物线有一个交点等价于直线与抛物线的对称轴平行或重合；（2）一元二次方程情形，直线与抛物线有有两个交点等价于直线与抛物线方程联立后方程有两个不同的解，其判别式大于0.为了减少计算量，直线方程与抛物线方程联时合理选择消元. 先看例题： 例：判断直线 y = 6与抛物线 y2=4x的位置关系并求交点坐标. 解：直线方程与抛物线方程联立得到一元一次方程36=4x， 因此直线与抛物线相交，易解出交点坐标为（9，6） 归纳整理： 直线与抛物线有两个不同公共交点： 联立直线 和抛物线 消 整理得： EMBED Equation.DSMT4 直线与抛物线相交，有两个不同公共交点； 联立直线 和抛物线 消 整理得： EMBED Equation.DSMT4 直线与抛物线相交，有两个不同公共交点； 直线 和抛物线 有一个交点； 直线 和抛物线 有一个交点； 直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切. 注意：一解不一定相切，相交不一定两解. 再看一个例题，加深印象 例:若直线y＝k(x－1)与抛物线x2=4y有两个公共点，求k的取值范围. 解： 由 得 总结： 1.直线与抛物线线相交，即直线与抛物线有一个或两个交点. 2.先判断直线与抛物线的对称轴情况，若直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切；否则直线方程与抛物线方程联立用判别式. 3.为了减少计算量，直线方程与抛物线方程联立时合理选择消元. 练习： 1.当b为何值时,直线y= -2x+b与抛物线x2=2y有两个公共点？ 2.当k为何值时,直线y= kx+k-2与抛物线y2=4x有两个公共点？ 答案： 1. 解：由 即b>-2时，直线与抛物线相交 2. 4 $$