高中数学破题致胜微方法（点、直线与抛物线的位置关系）：三、直线与抛物线只有一个公共点

本内容主要研究直线与抛物线只有一个公共点.直线与抛物线只有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴（或者与对称轴重合），另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式 ）. 先看例题： 例：当b为何值时,直线y= -2x+b与抛物线x2=2y有一个公共点？ 解：由 即b=-2时，直线与抛物线相有一个公共点. 注意也可用导数；直线y= -2x+b与抛物线x2=2y有一个公共点，只能是相切的情形. ， ，设切点 ，根据切线斜率 ，切点 在抛物线 上， .，切点 在直线y= -2x+b上，b=-2. 归纳整理： 直线与抛物线有一个公共点： 先判断直线与抛物线的对称轴情况， 若直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切； 否则直线方程与抛物线方程联立得一元二次方程，两根相等， 直线与抛物线相切，只有一个公共交点. 再看一个例题，加深印象 例：求过定点 且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程. （ 或 或 ） 解：直线斜率不存在， ，满足题意； 直线斜率存在，设直线方程 ，满足题意； 由 得 （1） ， （2） ， 得 ， 直线是 或 或 总结： 1.直线与抛物线线相切，即直线与抛物线有一个交点. 2.直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切. 3.直线方程与抛物线方程联立得一元二次方程， 直线与抛物线相切，只有一个公共交点. 练习： 1.当k为何值时,直线y= kx+k-2与抛物线y2=4x有一个公共点？ 2.求过定点 且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程. 答案： 1. 当 时， ，得 . 2. （ 或 或 ） 4 $$