学案50 三角函数的概念(二)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

sma+豆2.1zos. 当x>0时，sina十cosa= 2+2 =2, 当0时，ma+s8-(后)+（后）-8 故sina十cosa=√2或-√2. 4.解：由题意知r=OP=√2+9， 由三角函数的定义得c0s日=乙=一 又因为c0s0=0 10x,所以x V2+910x. 因为x≠0，所以解得x=士1. 当x=1时，P(1,3), 33√/10 此时sin0= wT2+3z-10,tan日=7≈3 当x=-1时，P(-1,3), 此时sin0=-)+3 3 -3W10 10 3 tan0=1=-3. 课堂达标 1.ABD 2B[由三角通教定义知1am8=子=-1.放速B] 3C[由题意得an0=30-2解得m=2 m 故选C.] 4.D[猴题老知A停3)，片以ana= =2.故选D.] 3 2 5.BC[OP=√x+9, -3 -3 sin a-OP9 _3√10 10 解得x2=1,.x=士1.故选BC.] 6.-[设点A()则（←号）》°+y=1 好释=-复制知8y=-5 [设角a的终边与单位圆相交于点P(x,y),则角B的 终边与单位圆相交于点Q(x,一y), 由题意知y=na=号，所以如月=-y=一子】 学案50三角函数的概念（二） 课堂活动 活动一探究三角函数值在各象限内的符号 新知导学 问题1提示：（正，正），（负，正），（负，负），（正，负）. 162 问题2提示： sin a 新知应用 1.证明：先证充分性，即如果①②式都成立，那么0为第三象 限角。 因为①式sin0<0成立，所以0角的终边可能位于第三或第 四象限，也可能与y轴的负半轴重合； 又因为②式tan>0成立，所以0角的终边可能位于第一或 第三象限，因为①②式都成立，所以日角的终边只能位于第三 象限.于是角日为第三象限角 必要性请同学们自己证明. 2.解：(1)因为250°是第三象限角，所以c0s250°<0. (2)国为-子是第四象限角，所以sim(-）<0, (3),a为三角形的一个内角， 0Ka<x,0<号<受 sin a0.costan0 inc受tam受>0， 3.解：(1)，cosa>0,tana<0, a位于第四象限， 六角。的集合为包2x-<a<2论x∈2Z列 （2)由(1)可得{e2kx-吾<a<2k,k∈2， “号的终边在第二、四象限， 又c0s号<0，受的终边在第二象限。 (3)由(2)知号的终边在第二、四象限， 当号的终边在第二象限时，lan受<0，n号>0,60s号<0， 所以sin2cos?<0: 当号的终边在第四象限时，tan号<0，sin号<0，os号>0， 所以so<0. 综上可得tam号<0，sin受os2<0, 活动二探究公式一 新知导学 问题3提示：由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同 一三角函数的值相等】 新知生成 sin a cos a tan a 新知应用 1.解：(1)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360)=tan48°，而 48°是第一象限角，所以tan(一672)>0. (2)因为tan3π=tan(π十2π)=tanπ，而元的终边在x轴上， 所以tan3π=0. (3)由-672°20'=47°40'+(-2)×360°，可知-672°20'是第 一象限角，所以tan(-672°20')>0. (0白g-经+，可如9受老第三缘限角。 所以an1g>0 2解：1ams-eos(任+2x)=os至-号 4 2 2an(-g）=1am(倍-2a)=am6- 63 3.解：(1)原式=sin(-4×360°+45)cos(3×360°+30)+ cos(-3X360°+60)sin(2X360°+30°) =sin45°cos30°+cos60°sin30° V2√311W6±1_1十/6 2+2×2=1+4 4 (2)原式=sin(2x+哥)cos(-4r+君）+tan(-4x+）: 名- 课堂达标 1.B[由sin0·cos0<0,知sin0和cos0异号，所以0在第二 象限或第四象限， 又因为sin0>cos0,所以0在第二象限.故选B.] 2.C[sin(-3159=sin(-360+459)=sin45”=￥ 2.故选C.] 3.C[因为，点P在第四象限，所以有ana>0:由此可判断角 cos a<0, a的终边在第三象限.故选C.门 4.BD[对于选项A,因为10°角是第一象限角， 所以sin10>0,故选项A不满足题意； 对于选项B,因为一220°角是第二象限角， 所以cos(-220)<0,故选项B满足题意； 对于选项C,周为一10∈(-经.-8)，片以角-10是第二 象限角，所以sin(一10)>0，故选项C不满足题意； 对于选项D,因为cosπ=一1<0，故选项D满足题意 故选BD.] 5.(-2,3][因为cosa≤0，sina>0, 所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为a终边 过点(3a-9,a+2), 所以3a-9S0'所以-2<a≤3， (a+2>0, 即实数a的取值范围是(-2,3].] 6.必要不充分[如a=2,则sina>0,但角a的终边不落在 第一、二象限，故由sina>0得不到角a的终边落在第一、二 象限； 若角a的终边落在第一、二象限，则sina>0成立，故sina> 0是角α的终边落在第一、二象限的必要不充分条件.] 7.[20x-受，2km+],∈z[周为osx=cosz,所以 c0sx≥0，所以角x的终边落在y轴或其右侧，从而角x的取 值范国是[2kx-受，2kx+]∈Z] 8.解：(1)原式=tan(360°+45)-sin(360°+90)+cos(2×360° +30)=tan45°-sin90°+cos30° =1-1+33 22 (2)原式=sin(3+8m)+tam(牙-4x -血+m-+1 学案51同角三角函数的基本关系 课堂活动 活动一探究同角三角函数的基本关系式 新知导学 问题1提示：(1)sin2a十cos2a=1; (e。-ua(≠t+音ez 问题2提示：，点P坐标为(cosa,sina),所以x2十y2=1,即 sin'a+cos2a=1. π 由正切函数的定义知，当a≠？十kπ（兔∈Z）时，有ana -sin a cos a 新知生成 2.1正切 问题3提示：sin2a+cos2a=1→ [sin2a=1-cos2a, cos2a=1-sin'a, sina=±√1-cos2a, cosa=±/1-sin2a, (sina士cosa)2=1±2 sin acos a. sin a=tan acos a, tan a=sin a cos a oa-品 新知应用 1.解：因为sina<0,sina≠一l,所以a是第三或第四象限角. 由sin2a+cos2a=1得 oia1-ma=1-(←g）厂-8 如果a是第三象限角，那么cosa<0.于是 cosa=一√25 从而ma-：-(-）×(-）- 如果α是第四象限角，那么 osa=ana=-子 631三角函数的概念（二）学案50 学案50 三角函数的概念（二） 课笔 昆学习任务 1.能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.（逻辑推理） 2.通过任意角的三角函数的定义，理解终边相同的角的同一三角函数值相等.（数学运算） 课堂活动 2.确定下列三角函数值的符号， 活动一探究三角函数值在各象限内的符号 (1)eos 250(2)sin) 阄新知导学 (3)sina·cos ·tam受a为三角形的内角). 阅读教材第180页，完成下列问题 问题1角α的终边分别在第一、二、三、四象限 内，终边上点的坐标有什么特征？ 问题2角α的三个三角函数值正负有什么特征？ 后新知生成 正弦函数的值在第一、二象限为正，第三、四象 3.已知cosa>0,且tana<0. 限为负；余弦函数的值在第一、四象限为正，第 (1)求角a的集合； 二、三象限为负；正切函数的值在第一、三象限 为正，第二、四象限为负， (2)若c0s?<0,求角号的终边所在的象限， [微提醒]口诀“一全正，二正弦，三正切，四 (3)判断1an受sin2cos2的符号. Q 余弦.” 个新知应用 1.求证：角0为第三象限角的充要条件是 (sin <0, ① tan 0>0. ② 15310 人教A版数学必修第一册 听 「方法总结」判断三角函数值符号的两个步骤 2.求下列三角函数值， (1)定象限：确定角α所在的象限. 笔 (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全 Dcos8(2an(-1g） 正，二正弦，三正切，四余弦”来判断 活动二探究公式一 阄新知导学 问题3由三角函数的定义猜想终边相同的角的 三角函数值有何关系？ 同新知生成 sin(a+k·2x)= cos(a十k·2π)= 3.计算下列各式的值. tan(a十k·2π)= (1)sin(-1395)cos1110+cos(-1020)sin750°； 其中k∈Z. 由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变 (2)sin-28）+tan-15)os1g 化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数 值将重复出现. 今新知应用 1.确定下列三角函数值的符号. (1)tan(-672);(2)tan3π； 10π (3)tan(-672°20')；(4)tan3 「方法总结」利用诱导公式一进行化简求值的 步骤 (1)定形：将已知的任意角写成2kπ十α的形式， 其中a∈[0,2π)，k∈Z. (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三 角函数值. (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角 函数值 01154 三角函数的概念（二）学案50 课堂小结」 5.已知角a的终边过点(3a一9，a十2)，且cosa≤ 听 0,sina>0,则实数a的取值范围是 。 课 符号规律 6.“sina>0”是“角a的终边落在第一、二象限”的 三角函数 的概念（二） 条件.（填“充分不必要”“必要不充分” 记 诱导公式一 “充要”“既不充分也不必要”) 7.如果cosx=|cosx|,那么角x的取值范围是 专课堂达标 8.计算下列各式的值。 1.若sin0>cos0,且sin0·cos0<0,则0在 (1)tan405°-sin450°+cos750°； A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 2.sin(-315)的值是 入号 e n号 3.已知点P(tana,cosa)在第四象限，则角a的 终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(多选)下列各三角函数值符号为负的有( ) A.sin 10 B.c0s(-220) C.sin(-10) D.cosπ 课后反思 15510