高中数学破题致胜微方法（点、直线与抛物线的位置关系）：五、判别式法求抛物线的切线方程

本内容主要研究判别式法求抛物线的切线方程.直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点（比较直线与对称轴平行时，也只有一个公共点）.设直线方程，联立直线方程与抛物线方程，组成方程组，消y（或x），整理成关于x（或y）的一元二次方程，这里要求二次项系数不为零，且判别式等于零，可求解抛物线的切线方程. 先看例题： 例：已知抛物线 .过点P(4,4)作抛物线G的切线，求切线方程. 解：解：直线斜率不存在，x=4，与抛物线G相交，不合题意. 设过点P(4,4)的直线y-4= k(x-4)，显然 ， 由 归纳整理： 直线方程与抛物线方程联立得一元二次方程，两根相等， 直线与抛物线相切，只有一个公共交点. 注意：联立方程时，要注意化简方式，尽量降低运算量. 再看一个例题，加深印象： 例：已知抛物线 .过点P(0,-4)作抛物线G的切线，求切线方程. 解：直线斜率不存在， ，与抛物线G相交，不合题意. 设过点P(0,－4)的直线y= kx-4， 由 即k=-2或k=2时，直线与抛物线相切， 切线方程是y= 2x-4或y= -2x-4. 例：求过定点 作抛物线 的切线,求切线方程. 解：直线斜率不存在， ，满足题意； 直线斜率存在，设直线方程 ， ， 与抛物线 相交，不满足题意； ， 变形为 满足题意； 由 得 ， 得 ， 切线是 或 总结： 1.联立直线 和抛物线 消 整理得： , k=0时直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交有一个公共交点，当 时， 直线与抛物线相切. 2.当 时,联立直线 和抛物线 消x整理得： ,当 时， 直线与抛物线相切. 练习： 1.当k为何值时,直线y= kx+k-2与抛物线y2=4x有一个公共点？ 2. 设抛物线C:x2=2py(p＞0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点. (Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为 ,求p的值及圆F的方程; (Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值. 3. 如图,已知抛物线C1: ,圆C2:x2+(y－1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点. (Ⅰ)求点A,B的坐标; (Ⅱ)求△PA