高中数学破题致胜微方法（点、直线与抛物线的位置关系）：六、导数法求抛物线的切线方程

本内容主要研究导数法求抛物线的切线方程.直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点（比较直线与对称轴平行时，也只有一个公共点）.将y改写成x的函数，利用导数的几何意义，根据切点坐标，用点斜式写出抛物线的切线方程. 先看例题 例：已知抛物线G:y2=4x. 过点P(4,4)作抛物线G的切线,求切线方程. 解： 点P在抛物线上，且在第一象限， 知抛物线在P点处的切线斜率为 故 整理： 根据抛物线方程，将y改写成x的函数f(x),切点 切线方程 过点P作抛物线的切线，若点P在抛物线上，则只有一条切线； 若点P在抛物线不含焦点的区域，则有两条切线. 若点P在抛物线含焦点的区域，则没有切线. 再看一个例题，加深印象 例：已知抛物线G: x2=4y. 过点P(0,－4)作抛物线G的切线,求切线方程. 解： 设切点Q ，由 ， , 知抛物线在Q点处的切线斜率为 , 故所求切线方程为 ,即 . 因为点P(0,－4)在切线上, 所以 , , =±4. 所求切线方程为y=±2x－4. 总结： 1.根据抛物线方程，焦点在x轴上的抛物线要注意开方的符号，将y改写成x的函数f(x), 设切点 ， 得切线方程 . 2.过点P作抛物线的切线，若点P在抛物线上，则只有一条切线； 若点P在抛物线不含焦点的区域，则有两条切线. 练习： 1. 在直角坐标系xOy中,曲线C: 与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点. (Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程; (Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当K变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 2.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,－2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________. 3.直线y= -2x+b与抛物线x2=2y有一个公共点，则b=( ). 答案： 1. 2. 3. 上， ，切点 在直线y= -2x+b上，b=-2. 5 $$