高中数学破题致胜微方法（点、直线与抛物线的位置关系）：七、过抛物线外一点作抛物线的两条切线

本内容主要研究过抛物线外一点作抛物线的两条切线.两条切线所带来一些性质比如切点坐标，定值等，在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题，而“韦达定理”始终起到“桥梁”作用.在近几年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力. 先看例题： 例：已知抛物线C： .设 是C的任意两条互相垂直的切线，并设 ，证明：点 的纵坐标为定值. 分析：设出切点坐标 , ，利用导数可写出两个切线方程 ， ，又 可得到斜率之积 通过运算得到结论. 解：设切点分别为 , ， 由 可得 即 ① 　　　　　　　　　　② 联立①②并解之，得 EMBED Equation.3 即为点 的坐标 EMBED Equation.3 ，所以 即点M的纵坐标为定值 . 整理： 掌握抛物线的切线方程的求法： 过抛物线外一点作抛物线的两条切线，两条切线所带来一些性质比如切点坐标，定值等； 用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题. 而“韦达定理”，始终起到“桥梁”的作用. 再看一个例题： 例：如图,设抛物线方程为x2＝2py(p＞0),M为直线y＝－2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列. 证明:由题意设 ,B(x2, ),x1＜x2,M(x0,－2p). 由x2＝2py得 ,则 , 所以 , . 因此直线MA的方程为 , 直线MB的方程为 . 所以 ,① .② 由①②得 , 因此 所以A,M,B三点的横坐标成等差数列. 总结： 1掌握抛物线的切线方程的求法，导数法或代数法. 2过抛物线外一点作抛物线的两条切线，两条切线所带来一些性质比如切点坐标，定值等，在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题，而“韦达定理”始终起到“桥梁”作用. 练习： 1. 已知椭圆C1:  的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (Ⅰ)求椭圆C1的方程; (Ⅱ)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值. 2. 已知抛物线C:y=2x2,直线y=kx+2交C于A,B