高中数学破题致胜微方法（点、直线与抛物线的位置关系）：九、过抛物线上一点的切线方程

本内容主要研究过抛物线上一点的切线方程.过椭圆C: (m>n>0)上一点Q(x0,y0)的切线方程为 ，对于双曲线 ,经过双曲线上一点M（x0，y0）的切线的方程是 ，对于抛物线方程 ，经过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程为 . 先看例题： 例：已知抛物线的方程 ，求经过抛物线上一点M（x0，y0）的切线的方程 解:由 求导数得2 不妨设y≠0，则 EMBED Equation.3 由导数的几何意义知过点M（x0，y0）的切线的斜率为 故所求切线方程为 化简得 即 又M（x0，y0）在抛物线 上,∴ 所以切线方程为 (可验证对y0=0,此方程也适用) 整理： 过抛物线上一点的切线方程 （1）点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： （2）点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： 再看一个例题： 例：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 证明: 以 （p＞0）为例说明. 设准线上任一点 ，切点分别为 、 ， 则切线方程分别为： ， 两切线均过点P，则满足 ， ． 故过两切点的弦AB方程为： ， 则弦AB过焦点． 总结： 1.点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： 2.点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： 练习： 1.过抛物线 的准线上任意一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M、N，则直线MN过定点（　　） A.（-1，0） B.（0，-1） C.（1，0） D.（0，1） 2.过点P 作双曲线 C： 的两条切线，切点分别为A，B， 求直线AB的方程. 解: 设切点分别为A（x1，y1）,B（x2，y2）. 3.已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x－y－2=0的距离为 ,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB.其中A,B为切点. (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 答案： 1.正确答案D，直线MN过焦点，参考例题2. 因此 ， . 直线AB的方程为 ,即 . 3. 4 $$