高中数学破题致胜微方法（点、直线与抛物线的位置关系）：十、抛物线上两点关于直线对称

本内容主要研究抛物线上两点关于直线的对称问题.直线和抛物线相交，两点关于轴对称，弦的中点在对称轴上，弦与对称轴垂直，注意点差法可以求弦所在直线的斜率.根据弦的中点在抛物线含焦点的区域，可以求出参数的范围. 先看例题： 例：若抛物线y ＝x上两点 关于直线 对称，且 ，则实数b的值为（ ）. 解： ，（1） ，（2） 得： ， . 于是 ，又 ， 得 ，在直线 上，代人b=-2. 归纳整理： 再看一个例题，加深印象 例：若抛物线 上存在不同的两点关于直线 对称，求实数 的取值范围. 解：当 时，显然满足. 当 时，设抛物线 上关于直线 对称的两点分别为 ，且 的中点为 ，则 ，（1） ，（2） 得： ， ， 又 ， . 中点 在直线 上， ，于是 . 中点 在抛物线 区域内 ，即 ，解得 . 综上可知，所求实数 的取值范围是 . 总结： 1.直线和抛物线相交，两点关于轴对称，弦的中点在对称轴上，弦与对称轴垂直. 2.注意点差法可以求弦所在直线的斜率. 3.根据弦的中点在抛物线含焦点的区域，可以求出参数的范围. 练习： 1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x－y－2=0,抛物线C:y2=2px(p>0). (1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程; (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证:线段PQ的中点坐标为(2－p,－p); ②求p的取值范围. 2.已知抛物线C：，直线要使抛物线C上存在关于对称的两点，的取值范围是什么？ 3.已知抛物线y=ax2－1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围. 答案： 1. 2. ∴ ∵P∈∴ ∴ ∴ ∴ 4 $$