高中数学破题致胜微方法（点、直线与抛物线的位置关系）：十一、抛物线中的三点共线问题

本内容主要研究抛物线中的三点共线问题.根据三点的坐标，用斜率或向量的方法解决共线问题，但是斜率不存在时要单独讨论. 先看例题： 例：若直线与抛物线 交于A、B两点，且A、B两点的纵坐标 满足 ，F为抛物线焦点，证明A，F，B三点共线. 解： 即 ； EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 即 . 归纳整理： 注意： 再看一个例题，加深印象 例:已知点F和直线l是抛物线C的焦点和对应准线，过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A,B两点, O为坐标原点，设点A,B在准线l上的射影分别为A1,B1 ，则A、O、B1 三点共线. 证：设 ， 因为 ， 而 所以 ,所以A、O、B1三点共线. 总结： 1.若 在抛物线 上，则 直线AB过焦点F 2.根据三点的坐标，用斜率或向量的方法解决共线问题，但是斜率不存在时要单独讨论. 练习： 1. 已知椭圆C: 过点 ,离心率为 ,点F1,F2分别为其左右焦点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若y2=4x上存在两个点M,N,椭圆上有两个点P,Q满足M,N,F2三点共线,P,Q,F2三点共线,且PQ⊥MN,求四边形PMQN面积的最小值. 2.已知点F和直线l是抛物线C的焦点和对应准线，过抛物线的焦点F作直线交抛物线于 A,B两点, O为坐标原点，设点A,B在准线l上的射影分别为A1,B1 ，则 B，O，A1 三点共 线. 答案： 1. 2. 而 所以 ,所以B，O，A1 三点共线. 过抛物线 （ ）的焦点 （ ，0）的弦（焦点弦）与抛物线相交于 （ ， ）， （ ， ）．证明： ， ． 证明：利用三点A、B、F共线，利用向量则避免分类讨论． = ， = ，因三点 A、B、F共线，则有 ∥ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ． ② 又 ， ，代入②得到 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ∵P在抛物线内 ， ∴ ∴ ∴ ∴ 3. 即得方程 ax2－x－（1+b）=0. ① 判别式Δ