湖南省衡阳市第八中学2018届高三上学期第三次月考数学（理）试题（pdf版）

衡阳市八中2018届高三第三次月考 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D C B A B C A C D A 【解析】 1． ，故选A． 2.得 , .故选D 3．，所以，故选D． 4．，故选C． 5.双曲线C1：﹣=1（m＞0）的渐近线为y=±， 双曲线C2：﹣=1的渐近线为y=±2x， ∵两个双曲线有相同的渐近线， ∴=2，即=4，得m=1， 则双曲线C1：﹣x2=1，则对应的焦点坐标为E（0，），F（0，﹣）， 双曲线C2：﹣=1的焦点坐标为G（2，0），H（﹣2，0）， 则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S=2S△GHE=2×=20， 故选：B 6．当时，z取得最大值4，故选A． 7．由表中数据可得，因为回归直线必过，代入回归方程得,故选B． 9. .故选A 10. 蒲、莞长度相等: .选C. 11.∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心， 而且底面BCD是正三角形， ∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD， 令底面三角形BCD的重心（即中心）为P， ∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高， ∴DE=，∴PE=，DP= ∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即 ∴AP=， ∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2， ∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为， ∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为 ∴外接球的表面积=4πr2=6π． 故选：D． 12．由题意知：在上单调递增，在上恒成立，必有，则的根有2个，故选A． 二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案 30 y2=16x 【解析】13.该月饮料消费支出超过150元的频率: ,人数: 14．直线平分圆周，则直线过圆心，所以有， （当且仅当时取“=”）. 15．解：由题意可得=cos30°且|DF|=p， 可得|BF|=，从而|AF|=， 由抛物线的定义可得A到准线的距离也为， 又△ABC的面积为， 可得••=， 解得p=8，则抛物线的方程为y2=16x． 16．设AB,AC的中点为D,E, EMBED Equation.3 又，代入得：，又，所以，代入得的取值范围为． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA． （1）求角C； （2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值． 解：（1）∵a=2csinA， ∴正弦定理得， ∵A锐角，∴sinA＞0， ∴sinC=， 又∵C为锐角， ∴C=，……………………5分 （2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab， 又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6， ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25， ∵由于a+b为正， ∴a+b=5．……………………10分 18．（本小题满分12分）在等差数列 中， . （1）求数列 的通项公式；（2）设数列 是首项为1，公比为 （ 是常数， EMBED Equation.DSMT4 0）的等比数列，求 的前 项和 . 18．解:（Ⅰ）设等差数列 的公差是 ． ∵ ，∴ =－3． ∴ ，解得 ．∴数列 的通项公式为 ．……5分 （Ⅱ）∵数列 是首项为1，公比为 的等比数列， ∴ ，即 ，∴ ． EMBED Equation.DSMT4 故当 时， ；当 时， ．………12分 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点． （Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC； （Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 解:（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=， ∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC， 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC， ∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……………………5分 （Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）． 设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），… =