2017秋沪科版八年级数学上册第十五章练习专训一：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法

专训一：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法 名师点金：在几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系． 作“三线”中的“一线” 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF. (第1题) 作平行线法[来源:Zxxk.Com] 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. (1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD. (2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． (第2题) [来源:Z+xx+k.Com] 截长补短法 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB. [来源:学|科|网Z|X|X|K] (第3题) 加倍折半法 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数． (第4题) 5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE. (第5题) [来源:学|科|网Z|X|X|K] 答案 专训一 (第1题) 1．证明：如图，连接AD. ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC. ∵EF∥BC，∴AD⊥EF. ∵AE＝AF， ∴AD垂直平分EF. ∴DE＝DF. 2．(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP，∴FP＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，FP＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.　 (第2题) (2)解：线段ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)