2017秋沪科版八年级数学上册第十四章练习专训二：构造全等三角形的六种常用方法

专训二：构造全等三角形的六种常用方法 名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平行线法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形． 翻折法[来源:学.科.网] 1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C. (第1题) 构造法 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 求证：∠ADC＝∠BDF. (第2题) 旋转法 3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数． (第3题) 平行线法 4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ. (第4题) 倍长中线法 5．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． (第5题) 截长补短法 6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD. (第6题) 专训二 1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE) ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE. ∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°. 在△ABD和△FBD中， ∴△ABD≌△FBD(ASA)． ∴∠2＝∠DFB. 又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C. (第1题) 　　(第2题) 2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.[来源:Zxxk.Com] ∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°. ∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2. 在△ACD和△CBG中， ∴△ACD≌△CBG(ASA)． ∴∠ADC＝∠G，CD＝BG. ∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG. 又∵∠DBG＝90°，∠D