第14章 全等三角形 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（沪科版）

第 14 章追梦综合演练卷 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:150 分　 　 得分: 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项,其中只有一个是正确的. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 如图,△ABC≌△FDE,∠C= 40°,∠F= 110°,则∠B 等于(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 20° B. 30° C. 40° D. 150° 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB 的示意图,请你根据所学的图形的全等这一章的知识,说明画出 ∠A′O′B′= ∠AOB 的依据是(　 　 ) A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 3. 如图,现有两把一样的直尺,将一把直尺的边与射线 OA 重合, 另一把直尺的边与射线 OB 重合,两把直尺的另一边在∠AOB 的内部交于点 P,作射线 OP,若∠AOB = 50°,则∠AOP 的度数 为(　 　 ) A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 　 4. 如图,已知 AD = AE,添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD 的是(　 　 ) A. AB=AC B. ∠ADC= ∠AEB C. ∠B= ∠C D. BE=CD 5. 如图,在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中,∠ACB = ∠AED = 90°,AB = AD,AC=AE,则下列说法不正确的是(　 　 ) A. BC=DE B. ∠BAE= ∠DAC C. OC=OE D. ∠EAC= ∠ABC 6. 如图是嘉淇测量水池 AB 宽度的方案,下列说法不正确的 是(　 　 ) ①先确定直线 AB,过点 B 作 BF⊥AB; ②在 BF 上取 C,D 两点,使得△; ③过点 D 作 DE⊥BF; ④作射线□,交 DE 于点 M; ⑤测量☆的长度,即 AB 的长. A. △代表 BC=CD B. □代表 AC C. ☆代表 DM D. 该方案的依据是 SAS 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AC,BC 上的点,若△ADB≌ △EDB≌EDC,则∠C 的度数为(　 　 ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 8. 如图,在锐角△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,△ADC≌ △ADC′,△AEB≌△AEB′,且 C′D∥EB′∥BC,BE、CD 交于点 F, 若∠BAC= 35°,则∠BFC 的大小是(　 　 ) A. 105° B. 110° C. 100° D. 120° 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 9. 学科内融合 如图,在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角 顶点固定在点 P(10,10)处,转动直角三角形,若两条直角边分 别与 x 轴正半轴交于点 A,y 轴正半轴交于点 B,则 OA+OB 的值 为(　 　 ) A. 16 B. 20 C. 10 D. 无法确定 10. 在学习完“探索三角形全等的条件”一节后,一同学总结出很 多全等三角形的模型,他设计了以下问题给同桌解决:如图,做 一个“U”字形框架 PABQ,其中 AB = 42 cm,AP,BQ 足够长,PA ⊥AB 于 A,QB⊥AB 于点 B,点 M 从 B 出发向 A 运动,同时点 N 从 B 出发向 Q 运动,使 M,N 运动的速度之比 3 ∶4,当两点运动 到某一瞬间同时停止,此时在射线 AP 上取点 C,使△ACM 与 △BMN 全等,则线段 AC 的长为(　 　 ) A. 18 cm B. 24 cm C. 18 cm 或 28 cm D. 18 cm 或 24 cm 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 如图,要测量池塘两岸 M、N 两点间的距离,可以在直线 MN 上 取 A,B 两点,再在池塘外取 AB 的垂线 BF 上的两点 C,D,使 BC=CD,过点 D 再画出 BF 的垂线 DE,使点 E 与 A,C 在一条 直线上,若此时测得 DE = 16 m,AM = 0. 5 m,BN = 1. 5 m,则池 塘两岸 M,N 两点间的距离为　 　 　 　 m. 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. 如图, ∠ABC = ∠CAD = 90°,AB = 4,AC = AD, △BAD 的面积 为　 　 　 　 . 13. 如图,平面直角坐标系中有点 B( -1,0)和点 A(0,2),以 A 点 为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC,则 C 点的坐标 为　 　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 　 第 14 题图 14. 如图,在△ABC 和△ADC 中,∠B = ∠D = 90°,∠BAC = ∠CAD, E,F 分别是 DC 和 BC 上的点,且∠EAF= 1 2 ∠DAB. (1)若∠ACB= 40°,则∠EAF 的度数为　 　 　 　 ; (2)若 BF= 2,EF= 5,则 DE 的长为　 　 　 　 . 三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 15. 如图,点 B,E,C,F 在同一直线上,AB∥DE,且 AB = DE,BE = CF,求证:AC∥DF. 16. 如图, 已知 △ABC ≌ △A′ B′ C′, AD、 A′ D′分别是 △ABC 和 △A′B′C′的高,求证:DC=D′C′. 四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 17. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=BC,BE⊥CE 于点 E,AD⊥ CE 于点 D. 求证: (1)△BEC≌△CDA; (2)DE=AD-BE. ·51· 18. (1)萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图 1 所示的折叠 凳,这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定. 这种设计所运用的数学 原理是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)图 2 是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略 不计),其中凳腿 AB 和 CD 的长度相等,交点 O 是它们的中点, 为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度 AD 设计 为 38 cm,则由以上信息可推得 CB 的长度是多少? 请说明 理由. 图 1　 　 　 　图 2 五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分) 19. 如图,∠A= ∠B,AE =BE,点 D 在 AC 边上,∠1 = ∠2,AE 和 BD 相交于点 O. (1)求证:△AEC≌△BED; (2)若∠1 = 42°,求∠BDE 的度数. 20. 某同学用 10 块高度都是 5cm 的相同长方体小木块,垒了两堵 与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角 板 ABD(∠ABD= 90°,BD=BA),点 B 在 CE 上,点 A 和 D 分别 与木墙的顶端重合. (1)求证:△ACB≌△BED; (2)求两堵木墙之间的距离. 六、(本题满分 12 分) 21. 为了解学生对所学知识的应用能力,某校老师在八年级数学兴 趣小组活动中,设置了这样的问题:因为池塘两端 A,B 的距离 无法直接测量,请同学们设计方案测量 A,B 的距离,甲、乙两 位同学分别设计出了如下两种方案: 甲:如图 1,在平地上取一个可以直接到达点 A,B 的点 O,连接 AO 并延长到点 C,连接 BO 并延长到点 D,使 CO = AO,DO = BO,连接 DC,测出 DC 的长即可. 乙:如图 2,先确定直线 AB,过点 B 作射线 BE,在射线 BE 上找 可以直接到达点 A 的一点 D,连接 DA,作∠ADB= ∠BDC,交直 线 AB 于点 C,最后测量 BC 的长即可. (1)甲、乙两同学的方案哪个可行? 并说明理由; (2) 请将不可行的方案稍加修改使之可行, 你的修改是: 　 　 　 　 　 　 ,请说明理由. 图 1　 　 　 　 图 2 七、(本题满分 12 分) 22. 学习情境·动点探究 如图,已知在△ABC 中,AB = AC = 9 cm, ∠B= ∠C,BC= 6 cm,点 D 为 AB 的中点. (1)如果点 P 在边 BC 上以 1. 5 cm / s 的速度由点 B 向点 C 运 动,同时,点 Q 在边 CA 上由点 C 向点 A 运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后, △BPD 与△CQP 是否全等,请说明理由; ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,经过 t 秒后, △BPD 与△CQP 全等,求此时点 Q 的运动速度与运动时间 t. (2)若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动 速度从点 B 同时出发,都逆时针沿△ABC 三边运动,则经过 　 　 　 　 后,点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的　 　 　 　 边上相 遇. (在横线上直接写出答案,不必书写解题过程) 八、(本题满分 14 分) 23. 学习情境·拓展应用 【问题背景】 在四边形 ABCD 中,AB = AD,∠BAD = 120°,∠B = ∠ADC = 90°, E、F 分别是 BC、CD 上的点,且∠EAF= 60°,试探究图 1 中线段 BE、EF、FD 之间的数量关系. 【初步探索】 小亮同学认为:延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连接 AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到 BE、EF、FD 之间的数量关系是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 【探索延伸】 在四边形 ABCD 中,如图 2,AB=AD,∠B+∠D= 180°,E、F 分别 是 BC、CD 上的点,∠EAF = 1 2 ∠BAD,上述结论是否仍然成立? 说明理由. 【结论运用】 如图 3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西 30°的 A 处,舰艇乙在指挥中心南偏东 70°的 B 处,并且两舰艇 到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向 以 60 海里 /小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东 50°方向以 80 海 里 /小时的速度前进 1. 5 小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇 分别到达 E,F 处,且两舰艇之间的夹角( ∠EOF)为 70°,试求 此时两舰艇之间的距离. 图 1 　 图 2 　 图 3 ·61· ∠DHA= ∠ACE,CE = DH, ∵ AF = CE, ∴ DH = AF, ∵ ∠BAC= ∠BCA,∠GAF = 180° - ∠BAC. ∠ACE = 180° - ∠ACB,∴ ∠ACE = ∠GAF,∴ ∠DHA = ∠GAF,在△AGF 与 △HGD 中, ∠DGH= ∠AGF ∠DHA= ∠GAF DH=AF{ , ∴ △AGF ≌ △HGD (AAS),∴ AG=GH= 1 2 AH= 1 2 AC. 第 14 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A D D D D B B C 1. B　 2. D 3. A　 【解析】E 点标记在直尺边缘与 OA 交点处,过点 P 作 PD⊥OB 于点 D,∵ 两把直尺为完全相同的长方形,∴ PD= PE,∵ PE⊥OA,PD⊥OB,∴ ∠PEO = ∠PDO,在 Rt△PEO 和 Rt △PDO 中, PE =PD PO=PO{ , ∴ Rt△PEO ≌ Rt△PDO(HL),∴ ∠AOP = ∠BOP,∵ ∠AOB = 50°,∴ ∠AOP= ∠BOP= 25°. 故选 A. 4. D　 5. D　 6. D　 7. D 8. B　 【解析】 设 ∠C′ = α,∠B′ = β,∵ △ADC≌ △ADC′, △AEB≌△AEB′,∴ ∠ACD = ∠C′ = α,∠ABE = ∠B′ = β, ∠BAE= ∠B′AE = ∠C′AD = 35°,∴ ∠C′DB = ∠BAC′ + ∠AC′D= 35° +α,∠CEB′ = 35° +β. ∵ C′D∥EB′∥BC,∴ ∠ABC= ∠C′DB = 35° +α,∠ACB = ∠CEB′ = 35° + β,∵ ∠BAC+∠ABC+∠ACB= 180°,即 105°+α+β= 180°,则 α+ β = 75°. ∵ ∠BFC = ∠BDC + ∠DBE, ∠BDC = ∠CAD + ∠ACD,∴ ∠BFC= 35°+α+β= 35°+75° = 110°. 故选 B. 9. B 10. C　 【解析】设 BM= 3xcm,则 BN = 4xcm,由题意得∠A= ∠B= 90°. (1)当△ACM≌△BNM 时,有 BM = AM = 3x, BN=AC,又∵ AM+BM = 42cm,∴ 3x+ 3x = 42,∴ x = 7. ∴ AC=BN= 4x= 28cm;(2)当△ACM≌△BMN 时,有 AM = BN= 4x,BM = AC = 3x,又∵ AM+BM = 42cm,∴ 4x+ 3x = 42,∴ x= 6,∴ AC=BM= 18cm. 故选 C. 11. 14 12. 8　 【解析】过点 D 作 DE⊥BA 交 BA 的延长线于 E,∵ ∠ABC= ∠CAD = 90°,∴ ∠ABC = ∠DEA = 90°,∠EAD+ ∠CAB = 90°, ∠C + ∠CAB = 90°, ∴ ∠C = ∠EAD, 在 △ABC 和 △DEA 中, ∠ABC= ∠DEA ∠C= ∠EAD AC=DA{ , ∴ △ABC ≌ △DEA(AAS),∴ AB=DE= 4,∴ S△BAD = 1 2 AB·DE = 1 2 × 4×4 = 8. 13. (-2,3)　 【解析】作 CE⊥y 轴于 E. ∵ B(-1,0),A(0, 2),∴ OB= 1,OA = 2,∵ ∠CAB = 90°,∴ ∠CEA = ∠AOB = ∠CAB= 90°,∴ ∠ECA+∠EAC = 90°,∠CAE+∠BAO = 90°, ∴ ∠ECA = ∠BAO, 在 △CAE 和 △ABO 中, ∠ECA= ∠BAO ∠CEA= ∠AOB AC=AB{ ,∴ △CAE≌△ABO(AAS),∴ CE = AO = 2,AE=BO= 1,即 OE= 1+2 = 3,∴ C(-2,3) . 14. (1) 50° 　 (2) 3　 【解析】 (1)在△ABC 中,∠B = 90°, ∠ACB= 40°,∴ ∠BAC = 90° - ∠ACB = 50°,∴ ∠BAC = ∠CAD= 50°,∴ ∠BAD= ∠BAC+∠CAD= 100°,∴ ∠EAF = 1 2 ∠DAB = 50°; ( 2 ) 在 △ABC 和 △ADC 中, ∠B= ∠D ∠BAC= ∠DAC AC=AC{ ,∴ △ABC≌△ADC(AAS),∴ AB = AD, 将△ABF 绕点 A 逆时针旋转得到△ADG,∴ AF = AG, ∠BAF= ∠DAG,BF=DG,∠ADG = ∠B = 90°,∴ ∠ADG+ ∠ ADC = 1 8 0 ° , ∴ G、D、 E 三 点 共 线 . ∵ ∠ EAF = 1 2 ∠DAB,∴ ∠EAF = ∠BAF+ ∠DAE = ∠DAG+ ∠DAE, ∴ ∠EAF = ∠EAG, 又 ∵ AE = AE ∴ △EAF ≌ △EAG (SAS),∴ EF = EG = ED+GD = BF+ED,∴ DE = EF-BF = 3. 15. 证明:∵ AB∥DE,∴ ∠B= ∠DEF. ∵ BE=CF,∴ BC=EF. 在△ABC 和△DEF 中,AB = DE,∠B = ∠DEF,BC = EF, ∴ △ABC≌△DEF(SAS),∴ ∠ACB= ∠F,∴ AC∥DF. 16. 证明:∵ △ABC≌△A′B′C′,∴ AC = A′C′,∠C = ∠C′,∵ AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′ C′的高, ∴ ∠ADC = ∠A′D′C′,在△ADC 和△A′D′C′中, ∠C= ∠C′ ∠ADC= ∠A′D′C′ AC=A′C′{ , ∴ △ADC≌△A′D′C′(AAS),∴ DC=D′C′. 17. 证明:(1)∵ BE⊥CE,AD⊥CE,∴ ∠BEC = ∠CDA= 90°. 在Rt△BEC 中, ∠BCE+ ∠CBE = 90°,在 Rt△BCA 中, ∠BCE+ ∠ACD = 90°, ∴ ∠CBE = ∠ACD,在△BEC 和 △CDA 中,∠BEC= ∠CDA,∠CBE = ∠ACD,BC = CA,∴ △BEC≌△CDA(AAS); (2)∵ △BEC≌△CDA,∴ BE=CD,CE=AD. 又∵ CE-CD =DE,∴ DE=AD-BE. 18. 解:(1)三角形具有稳定性 (2)CB= 38cm. 理由如下:∵ O 是 AB 和 CD 的中点,∴ AO = BO, CO = DO, 在 △AOD 和 △BOC 中, AO=BO ∠AOD= ∠BOC DO=CO{ ,∴ △AOD≌ △BOC( SAS) . 又∵ AD = 38cm,∴ BC=AD= 38cm. 19. (1) 证明:在△AOD 和△BOE 中, ∠A = ∠B,∠AOD = ∠BOE. ∴ ∠BEO= ∠2. 又∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠1 = ∠BEO, ∴ ∠AEC = ∠BED. 在△AEC 和△BED 中,∠A= ∠B,AE =BE,∠AEC= ∠BED,∴ △AEC≌△BED(ASA); (2)解:∵ △AEC≌△BED,∴ EC = ED,∠C = ∠BDE. ∵ EC = ED,∠1 = 42°,∴ △EDC 是等腰三角形. ∴ ∠C = ∠EDC= 69°,∴ ∠BDE= ∠C= 69°. 20. (1)证明:由题意得:AB =BD,∠ABD = 90°,AC⊥CE,DE ⊥CE,∴ ∠BED= ∠ACB = 90°,∴ ∠BDE+∠DBE = 90°, ∠DBE+ ∠ABC = 90°, ∴ ∠BDE = ∠ABC,在△ACB 和 △BED 中, ∠ABC= ∠BDE ∠ACB= ∠BED BD=AB{ ,∴ △ACB≌△BED(AAS); (2)解:由题意得:AC = 5 × 3 = 15( cm),DE = 7 × 5 = 35 (cm),∵ △ACB≌△BED,∴ DE = BC = 35cm,BE = AC = 15cm,∴ EC= EB+BC = AC+DE = 50cm,答:两堵木墙之 间的距离为 50cm. 21. 解:(1)甲同学的方案可行. 理由:由题意得,在△ABO 与 △CDO 中,, OA=OC ∠AOB= ∠COD OB=OD{ , ∴ △ABO ≌ △CDO (SAS),∴ AB=CD,故甲同学的方案可行. ( 2 ) DB ⊥ AC 　 理 由: 在 △DBA 与 △DBC 中, ∠ADB= ∠CDB DB=DB ∠DBA= ∠DBC{ ,∴ △DBA≌△DBC(ASA),∴ AB=CB. 22. 解:(1) ①全等. 理由如下:由题意得,经过 1 秒后 BP = CQ= 1. 5cm. ∵ 点 D 为 AB 的中点,∴ BD = 4. 5cm. 又∵ PC= BC-BP = 4. 5cm,∴ PC = BD. 在△BPD 和△CQP 中, BD=CP ∠B= ∠C BP=CQ{ ,∴ △BPD≌△CQP(SAS); ②∵ vP ≠vQ,∴ BP≠CQ. 则假设△BPD≌△CPQ,又∵ ∠B= ∠C,则 BP = CP = 3cm,BD = CQ = 4. 5cm,∴ t = 3÷ 1. 5 = 2(s),∴ vQ = 4. 5÷2 = 2. 25(cm / s) . (2)24s　 AC 23. 【初步探索】EF=BE+FD 【探索延伸】结论仍然成立,理由如下:如图 2,延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连接 AG, ∵ ∠B + ∠ADC = 180°, 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 8 页 ∠ADG+ ∠ADC = 180°, ∴ ∠B = ∠ADG. 在 △ABE 和 △ADG 中, BE=DG ∠B= ∠ADG AB=AD{ ,∴ △ABE≌ △ADG( SAS),∴ AE =AG,∠BAE = ∠DAG. ∵ ∠EAF = 1 2 ∠BAD,∴ ∠GAF = ∠DAG+∠DAF = ∠BAE+∠DAF = ∠EAF. 在△AEF 和 △AGF 中, AE=AG ∠EAF= ∠GAF AF=AF{ ,∴ △AEF≌ △AGF( SAS), ∴ EF=FG,∴ EF=DG+FD=BE+DF. 图 2 　 　 图 3 【结论运用】: 解:如图 3,连接 EF,延长 AE、BF 交于点 C,∵ ∠AOB = 30°+90°+(90°- 70°) = 140°,∠EOF = 70°,∴ ∠EOF = 1 2 ∠AOB. ∵ OA = OB, ∠OAC + ∠OBC = ( 90° - 30°) + (70°+50°)= 180°,∴ 符合探索延伸中的条件,∴ 结论 EF=AE+BF 成立,即 EF = 1. 5×(60+80)= 210(海里), 故此时两舰艇之间的距离是 210 海里. 第 15 章追梦基础训练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A C D A A C C B 1. D　 2. C 3. A　 【解析】A. ∵ ∠A= 50°,∠B= 80°,∴ ∠C= 180°-∠A- ∠B= 50°,∴ ∠A= ∠C,∴ △ABC 为等腰三角形. 故选 A. 4. C　 5. D　 6. A 7. A　 【解析】过点 D 作 DF⊥AC,∵ AD 是△ABC 的角平分 线,DE⊥AB,∴ DE=DF= 2,∴ S△ABC = S△ABD +S△ADC = 1 2 AB ·DE+ 1 2 AC·DF= 1 2 ×4×2+ 1 2 AC×2 = 7,解得 AC = 3. 故 选 A. 8. C　 9. C 10. B　 【解析】作 M 关于 OB 的对称点 M′,N 关于 OA 的对 称点 N′,连接 M′N′交 OA 于点 Q,交 OB 于点 P,则 MP+ PQ+QN 最小,易知∠OPM = ∠OPM′ = ∠NPQ,∠OQP = ∠AQN′= ∠AQN. ∵ ∠OQN= 180°-30°-∠ONQ,∠OPM = ∠NPQ= 30°+∠OQP,∠OQP = ∠AQN = 30°+∠ONQ, ∴ β+α= 180°-30°-∠ONQ+30°+30°+∠ONQ = 210°. 故 选 B. 11. -2　 12. 105° 13. 5cm　 【解析】作 M 关于 OC 的对称点 P,过 P 作 PN⊥ OA 于点 N,交 OC 于 Q,此时 QM + QN 的值最小,∵ ∠AOB= 30°,OC 平分∠AOB,M 在 OA 上,∴ OA、OB 关 于 OC 对称,∴ 点 P 在 OB 上,∴ OP =OM = 10cm,QM = PQ,∠PNO= 90°,∵ PN= 1 2 OP = 1 2 ×10 = 5(cm),∴ QM +QN=PQ+QN=PN= 5cm. 14. (1)4　 (2)2　 【解析】(1)∵ D 为线段 BC 中点,∴ BD = CD,∵ △ABC 是 等 边 三 角 形, ∴ ∠BAD = ∠DAC = 1 2 ∠BAC= 30°,∵ △ACD 和△ACE 关于直线 AC 对称, ∴ AD = AE,∠DAC = ∠EAC = 30°,∴ ∠DAE = 60°, ∴ △ADE 是等边三角形,∴ DE = AD = 4;(2) ∵ △ACD 和 △ACE 关于直线 AC 对称,∴ △ACD≌△ACE,∴ CE = CD,∠ACD= ∠ACE,AE=AD = 4,∵ BF =CD,∴ CE =BF, ∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°,AC = CB,∴ ∠ACD= ∠FBC = 120°,∴ ∠ACE = ∠FBC = 120°, 在 △ACE 和 △CBF 中, AC=BC ∠ACE= ∠CBF CE=BF{ , ∴ △ACE ≌ △CBF(SAS),∴ AE = CF,∵ ∠BCE = ∠ACE- ∠ACB = 60°,∴ ∠BCE + ∠FBC = 180°, ∴ BF∥CE, ∴ ∠F = ∠FCE, 在 △CEP 和 △FBP 中, ∠CPE= ∠FPB ∠FCE= ∠F CE=BF{ , ∴ △CEP≌△FBP(AAS),∴ CP =FP,∴ CP = 1 2 CF = 1 2 AE = 2. 15. 证明:∵ CE 平分∠BCD,∴ ∠BCE = ∠DCE,∵ ∠AEC = ∠B+∠BCE,∠ACE = ∠DCE+ ∠ACD,∠B = ∠ACD,∴ ∠AEC= ∠ACE,∴ AE = AC,∴ △AEC 是等腰三角形,∵ EF=CF,∴ AF 平分∠CAE. 16. 解:由题意,得 EB=EC,则△ABE 的周长=AB+BE+AE = AB+AE+EC =AB+AC = 14cm,∵ AC = 8cm,∴ AB = 14-8 = 6(cm). 17. (1) 证明:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. 在△DBE 和△ECF 中,BE = CF, ∠B = ∠C, BD = CE, ∴ △DBE ≌ △ECF (SAS),∴ DE=EF,∴ △DEF 是等腰三角形; (2)解:由(1)可知△DBE≌△ECF,∴ ∠1 = ∠3. ∵ ∠A +∠B+ ∠C = 180°,∠A = 40°,∠B = ∠C,∴ ∠B = 1 2 × (180° - 40°) = 70°, ∴ ∠1 + ∠2 = 110°, ∴ ∠3 + ∠2 = 110°,∴ ∠DEF= 70°. 18. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (2)连接 B1C 交 DE 于点 P,则 P 点就是所求的点,如图 所示; (3)Q 为 AC1(或 CA1 )与 DE 的交点,如图所示. 19. 证明:(1)∵ Rt△ABC 中,∠BAC= 30°,∴ AB= 2BC. 又∵ △ABE 是等边三角形,EF⊥AB,∴ AE =BA,AB = 2AF,∴ AF=BC. 在 Rt△AFE 和 Rt△BCA 中,AE = BA,AF = BC, ∴ Rt△AFE≌Rt△BCA(HL),∴ AC=EF; (2)∵ △ACD 是等边三角形,∴ ∠DAC = 60°,AC = AD, ∴ ∠DAB= ∠DAC+∠BAC= 90°. 又∵ ∠AFE = 90°,∴ EF ∥AD. ∵ AC=EF,AC=AD,∴ EF=AD. 20. 解:(1)OA=OB=OC; (2)△OMN 为等腰直角三角形. 证明:连接 AO,∵ AC = AB,OC = OB, ∴ AO⊥BC,即∠AOB = 90°,且∠CAO = ∠BAO. 又∵ ∠BAC = 90°,∴ ∠CAO = 45°, ∵ AC = AB, ∠BAC= 90°,∴ ∠B = 45°,∴ ∠NAO = ∠B. 在△AON 与 △BOM 中,AO=BO,∠NAO = ∠B,AN =BM,∴ △AON≌ △BOM,∴ ON=OM,∠NOA = ∠MOB,∴ ∠NOA+∠AOM = ∠MOB+ ∠AOM,∴ ∠NOM = ∠AOB = 90°,∴ △OMN 是等腰直角三角形. 21. 证明:(1) ∵ AC = BC,∠ACB = 90°,∴ ∠BAC = ∠ABC = 45°,∵ ∠CAD = ∠CBD = 15°,∴ ∠BAD = ∠ABD = 30°, ∴ AD = BD. 又∵ AC = BC,∠CAD = ∠CBD,∴ △ADC≌ △BDC ( SAS), ∴ ∠ACD = ∠BCD = 45°, ∴ ∠ADC = ∠BDC= 120°. ∵ ∠ADC+∠CDE= 180°,∴ ∠CDE = 60°, ∴ ∠BDE= 120°-60° = 60°,∴ ∠BDE = ∠CDE,即 DE 平 分∠BDC; (2)连接 CM,∵ DC = DM,∠CDE = 60°,∴ △CDM 为等 边三角形,∴ ∠CMD = 60°,CD = CM,∴ ∠CME = 120°, ∴ ∠CME= ∠BDC. ∵ CE=CA,∴ ∠CAE = ∠E. ∵ ∠CAE = ∠CBD,∴ ∠E= ∠CBD,在△CME 和△CDB 中,∠E = ∠CBD,∠CME = ∠CDB,CM = CD, ∴ △CME≌ △CDB (AAS),∴ ME=BD. 22. (1)证明:由旋转的性质,得△APC≌△BDC,PC = DC, 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 9 页