第14章 全等三角形 追梦基础训练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（沪科版）

23. 解:(1)设每台 A 型电脑销售利润为 a 元,每台 B 型电 脑的销售利润为 b 元;根据题意得 10a+20b= 4 000 20a+10b= 3 500{ ,解 得 a= 100b= 150{ . 答:每台 A 型电脑销售利润为 100 元,每台 B 型电脑的销售利润为 150 元; (2)①根据题意得,y = 100x+150(100-x),即 y = -50x+ 15 000; ②据题意得,100 - x≤2x,解得 x≥33 1 3 ,∵ y = - 50x+ 15000,∴ y 随 x 的增大而减小,∵ x 为正整数,∴ 当 x = 34 时,y 取最大值,则 100-x = 66,此时最大利润是 y = -50×34+15000 = 13300. 答:商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大,最大利润是 13300 元. 第 14 章追梦基础训练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D B C C A A A B 1. C　 2. C　 3. D 4. B　 【解析】因为△ABC≌△BAD,所以 BD = AC. 因为 AC = 10cm,所以 BD= 10cm. 故选 B. 5. C　 6. C　 7. A 8. A　 【解析】由全等三角形对应边相等,得①2x = 7, 解得 x= 3. 5,3x-5 = 8,解得 x= 13 3 . ∵ 3. 5≠13 3 ,∴ 此时不成立; ②2x= 8,解得 x = 4,3x-5 = 7,解得 x = 4,此时成立,综上 所述,x 的值为 4. 故选 A. 9. A　 【解析】由题意知,滑梯、墙、地面正好构成直角三角 形,在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, BC=EFAC=DF{ ,∴ Rt△ABC≌ Rt△DEF(HL),∴ AB=DE= 8m,∴ BF=AB+AD+DF = 8+4 +6 = 18(m) . 故选 A. 10. B 　 【解析】 ∵ AB∥CD,∴ ∠ABD = ∠CDB,∠BAC = ∠DCA, 在 △ABO 和 △CDO 中 ∠BAO= ∠DCO AB=CD ∠ABO= ∠CDO{ , ∴ △ABO≌△CDO(ASA),∴ OB = OD,OA = OC,所以①正 确;∵ △AOD 的周长=AD+OA+OD,△ODC 的周长 =DC +OD+OC,∴ △AOD 的周长-△ODC 的周长 = AD-DC, 所以②正确;在△ADO 和△CBO 中 OA=OC ∠AOD= ∠COB OD=OB{ , ∴ △ADO≌ △CBO( SAS),∴ ∠DAO = ∠BCO,∴ AD∥ BC,所 以 ③ 正 确; 易 证 △AMO ≌ △CNO, ∴ S△AMO = S△CNO,∴ S四边形ABNM =S△ABC . ∵ OA =OC,∴ S△ABO = 1 2 S△ABC = 1 2 S四边形ABNM, 所 以 ④ 正 确; 图 中 全 等 的 三 角 形 有 △AOB≌ △COD, △AOD ≌ △COB, △AOM ≌ △CON, △AOE≌ △COF, △MOD ≌ △NOB, △ABD ≌ △CDB, △ABC≌ △CDA, △AEM ≌ △CFN, △BOE ≌ △DOF, △BNE≌△DMF,共 10 对,所以⑤错误. 故选 B. 11. 28° 12. 3 　 【解析】 ∵ CD ⊥ AB, ∴ ∠BDC = 90°, ∴ ∠DBC + ∠BCD= 90°. ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠ECF+∠BCD= 90°,∴ ∠ECF= ∠B. ∵ EF⊥AC,∴ ∠FEC = 90°. ∵ 在△FEC 和△ACB 中,∠FEC = ∠ACB = 90°,EC = BC,∠ECF = ∠B,∴ △FEC≌△ACB(ASA),∴ EF = AC. ∴ AE = AC- EC=EF-BC= 5-2 = 3(cm) . 13. 65° 14. (1)2　 (2) 1 2 　 【解析】 (1)∵ AD 是△ABC 的中线,∴ BD=CD,∵ BE⊥AD,交 AD 的延长线于点 E,CF⊥AD 于 点 F,∴ ∠E= ∠CFD = ∠CFG = 90°,在△BED 和△CFD 中, ∠E= ∠CFD ∠BDE= ∠CDF BD=CD{ ,∴ △BED≌△CFD(AAS),∴ BE = CF = 2; ( 2 ) 在 △ABE 和 △GCF 中, ∠E= ∠CFG ∠BAE= ∠G CF=BE{ , ∴ △ABE≌△GCF(AAS),∴ GF = AE,∴ GF - AF = AE - AF,∴ AG = FE,∴ DE = DF = 1 2 FE = 1 2 AG,∴ S△BDE = 1 2 DE·BE= 1 2 × 1 2 AG·CF= 1 2 S△AGC,∴ S△BDE S△AGC = 1 2 . 15. 证明:连接 AD. ∵ AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴ △ABD≌ △ACD(SSS) . ∴ ∠BAD = ∠CAD. ∵ DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ ∠DEA= ∠DFA = 90°. ∵ AD = AD,∴ △DEA≌△DFA (AAS),∴ DE=DF. 16. 解:(1)∵ △ABC≌△DEB,∴ BE=BC= 3,∴ AE =AB-BE = 6-3 = 3; (2)∵ △ABC≌△DEB,∴ ∠A = ∠D = 25°,∠DBE = ∠C = 55°,∴ ∠AED= ∠DBE+∠D= 25°+55° = 80°. 17. (1)证明:∵ AB∥CF,∴ ∠A= ∠FCE,在△ADE 和△CFE 中, ∠A= ∠FCE ∠AED= ∠CEF DE=EF{ ,∴ △ADE≌△CFE(AAS) . (2)解:∵ △ADE≌△CFE,∴ AD=CF= 4,∴ BD=AB-AD = 7-4 = 3. 18. 解:(1)2　 选择△ABE≌△DCE,理由如下:在△ABE 和 △DCE 中, ∠AEB= ∠DEC ∠A= ∠D= 90° AB=DC{ , 所 以 △ABE ≌ △DCE (AAS) . (答案不唯一) (2)AD∥BC. 理由如下:由(1)可知,△ABE≌△DCE,所 以 AE = DE, BE = CE, 所 以 ∠DAC = ∠ADB = 180°-∠AED 2 , ∠DBC = ∠ACB = 180° -∠BEC 2 , 因 为 ∠AED= ∠BEC,所以∠ADB= ∠DBC,所以 AD∥BC. 19. (1)①　 SSS (2)证明:∵ △ABC≌△DEF,∴ ∠A=∠EDF,∴ AB∥DE. 20. 解:选择方案①;∵ CE∥AB,∴ ∠ABC = ∠C,∵ DB =DC, ∠ADB = ∠EDC, ∴ △ABD≌ △ECD(ASA), ∵ CE = 20 m,∴ AB=CE= 20(m),∴ 水潭的宽度 AB 为 20 m. 21. (1)证明:∵ BG∥AC,∴ ∠C = ∠GBD. ∵ D 是 BC 的中 点, ∴ BD = DC, 在 △CFD 和 △BGD 中, ∠C= ∠GBD CD=BD ∠CDF= ∠BDG{ ,∴ △CFD≌△BGD(ASA),∴ BG=CF; (2)解:BE+CF>EF,理由如下:∵ △CFD≌△BGD,∴ GD=DF. ∵ DE⊥GF,∴ ∠EDG = ∠EDF = 90°. 又∵ ED = ED,∴ △EDG≌△EDF(SAS),∴ EF =EG. ∵ BG =CF,∴ BE+CF>EF. 22. 解:(1)过 A′作 A′D⊥OP 于点 D,∵ ∠A′OA = ∠OCA = 90°,∴ ∠A′OD+∠AOC = ∠AOC+∠OAC = 90°∴ ∠A′OD = ∠OAC,在△OA′D 和△AOC 中, ∠A′DO= ∠OCA ∠A′OD= ∠OAC OA′=AO{ ,∴ △OA′D≌△AOC(AAS),∴ A′D=OC= 4-2. 3 = 1. 7(米), 即小球摆动到垂直于 OA 位置时 A′到 OP 的距离 为 1. 7 米; (2)由(1)知:OD = AC = 3 米,4-3 = 1 (米) . 答:A′到地 面的距离为 1 米. 23. (1)证明:∵ AB=BC,∴ △ABC 是等腰三角形,∴ ∠BAC = ∠BCA,∵ ∠BAC = ∠BAD + ∠DAC, ∠BCA = ∠CAE + ∠E,且∠CAE = ∠BAD,∴ ∠DAC = ∠E,∵ CA = CD,∴ ∠CDA= ∠CAD,∴ ∠CDA = ∠E,过点 A 作 AM⊥BE 于 点 M,∴ ∠AMD= ∠AME= 90°,又∵ AM=AM∴ △AMD≌ △AME,∴ AD=AE; (2)解:AG= 1 2 AC,证明如下:在 AB 上截取,AH = AC,连 接 DH,∵ AD = AE,∠HAD = ∠CAE,在△ADH 与△AEC 中, AH=AC ∠HAD= ∠CAE AD=AE{ , ∴ △ADH ≌ △AEC ( SAS ), ∴ 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 7 页 ∠DHA= ∠ACE,CE = DH, ∵ AF = CE, ∴ DH = AF, ∵ ∠BAC= ∠BCA,∠GAF = 180° - ∠BAC. ∠ACE = 180° - ∠ACB,∴ ∠ACE = ∠GAF,∴ ∠DHA = ∠GAF,在△AGF 与 △HGD 中, ∠DGH= ∠AGF ∠DHA= ∠GAF DH=AF{ , ∴ △AGF ≌ △HGD (AAS),∴ AG=GH= 1 2 AH= 1 2 AC. 第 14 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A D D D D B B C 1. B　 2. D 3. A　 【解析】E 点标记在直尺边缘与 OA 交点处,过点 P 作 PD⊥OB 于点 D,∵ 两把直尺为完全相同的长方形,∴ PD= PE,∵ PE⊥OA,PD⊥OB,∴ ∠PEO = ∠PDO,在 Rt△PEO 和 Rt △PDO 中, PE =PD PO=PO{ , ∴ Rt△PEO ≌ Rt△PDO(HL),∴ ∠AOP = ∠BOP,∵ ∠AOB = 50°,∴ ∠AOP= ∠BOP= 25°. 故选 A. 4. D　 5. D　 6. D　 7. D 8. B　 【解析】 设 ∠C′ = α,∠B′ = β,∵ △ADC≌ △ADC′, △AEB≌△AEB′,∴ ∠ACD = ∠C′ = α,∠ABE = ∠B′ = β, ∠BAE= ∠B′AE = ∠C′AD = 35°,∴ ∠C′DB = ∠BAC′ + ∠AC′D= 35° +α,∠CEB′ = 35° +β. ∵ C′D∥EB′∥BC,∴ ∠ABC= ∠C′DB = 35° +α,∠ACB = ∠CEB′ = 35° + β,∵ ∠BAC+∠ABC+∠ACB= 180°,即 105°+α+β= 180°,则 α+ β = 75°. ∵ ∠BFC = ∠BDC + ∠DBE, ∠BDC = ∠CAD + ∠ACD,∴ ∠BFC= 35°+α+β= 35°+75° = 110°. 故选 B. 9. B 10. C　 【解析】设 BM= 3xcm,则 BN = 4xcm,由题意得∠A= ∠B= 90°. (1)当△ACM≌△BNM 时,有 BM = AM = 3x, BN=AC,又∵ AM+BM = 42cm,∴ 3x+ 3x = 42,∴ x = 7. ∴ AC=BN= 4x= 28cm;(2)当△ACM≌△BMN 时,有 AM = BN= 4x,BM = AC = 3x,又∵ AM+BM = 42cm,∴ 4x+ 3x = 42,∴ x= 6,∴ AC=BM= 18cm. 故选 C. 11. 14 12. 8　 【解析】过点 D 作 DE⊥BA 交 BA 的延长线于 E,∵ ∠ABC= ∠CAD = 90°,∴ ∠ABC = ∠DEA = 90°,∠EAD+ ∠CAB = 90°, ∠C + ∠CAB = 90°, ∴ ∠C = ∠EAD, 在 △ABC 和 △DEA 中, ∠ABC= ∠DEA ∠C= ∠EAD AC=DA{ , ∴ △ABC ≌ △DEA(AAS),∴ AB=DE= 4,∴ S△BAD = 1 2 AB·DE = 1 2 × 4×4 = 8. 13. (-2,3)　 【解析】作 CE⊥y 轴于 E. ∵ B(-1,0),A(0, 2),∴ OB= 1,OA = 2,∵ ∠CAB = 90°,∴ ∠CEA = ∠AOB = ∠CAB= 90°,∴ ∠ECA+∠EAC = 90°,∠CAE+∠BAO = 90°, ∴ ∠ECA = ∠BAO, 在 △CAE 和 △ABO 中, ∠ECA= ∠BAO ∠CEA= ∠AOB AC=AB{ ,∴ △CAE≌△ABO(AAS),∴ CE = AO = 2,AE=BO= 1,即 OE= 1+2 = 3,∴ C(-2,3) . 14. (1) 50° 　 (2) 3　 【解析】 (1)在△ABC 中,∠B = 90°, ∠ACB= 40°,∴ ∠BAC = 90° - ∠ACB = 50°,∴ ∠BAC = ∠CAD= 50°,∴ ∠BAD= ∠BAC+∠CAD= 100°,∴ ∠EAF = 1 2 ∠DAB = 50°; ( 2 ) 在 △ABC 和 △ADC 中, ∠B= ∠D ∠BAC= ∠DAC AC=AC{ ,∴ △ABC≌△ADC(AAS),∴ AB = AD, 将△ABF 绕点 A 逆时针旋转得到△ADG,∴ AF = AG, ∠BAF= ∠DAG,BF=DG,∠ADG = ∠B = 90°,∴ ∠ADG+ ∠ ADC = 1 8 0 ° , ∴ G、D、 E 三 点 共 线 . ∵ ∠ EAF = 1 2 ∠DAB,∴ ∠EAF = ∠BAF+ ∠DAE = ∠DAG+ ∠DAE, ∴ ∠EAF = ∠EAG, 又 ∵ AE = AE ∴ △EAF ≌ △EAG (SAS),∴ EF = EG = ED+GD = BF+ED,∴ DE = EF-BF = 3. 15. 证明:∵ AB∥DE,∴ ∠B= ∠DEF. ∵ BE=CF,∴ BC=EF. 在△ABC 和△DEF 中,AB = DE,∠B = ∠DEF,BC = EF, ∴ △ABC≌△DEF(SAS),∴ ∠ACB= ∠F,∴ AC∥DF. 16. 证明:∵ △ABC≌△A′B′C′,∴ AC = A′C′,∠C = ∠C′,∵ AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′ C′的高, ∴ ∠ADC = ∠A′D′C′,在△ADC 和△A′D′C′中, ∠C= ∠C′ ∠ADC= ∠A′D′C′ AC=A′C′{ , ∴ △ADC≌△A′D′C′(AAS),∴ DC=D′C′. 17. 证明:(1)∵ BE⊥CE,AD⊥CE,∴ ∠BEC = ∠CDA= 90°. 在Rt△BEC 中, ∠BCE+ ∠CBE = 90°,在 Rt△BCA 中, ∠BCE+ ∠ACD = 90°, ∴ ∠CBE = ∠ACD,在△BEC 和 △CDA 中,∠BEC= ∠CDA,∠CBE = ∠ACD,BC = CA,∴ △BEC≌△CDA(AAS); (2)∵ △BEC≌△CDA,∴ BE=CD,CE=AD. 又∵ CE-CD =DE,∴ DE=AD-BE. 18. 解:(1)三角形具有稳定性 (2)CB= 38cm. 理由如下:∵ O 是 AB 和 CD 的中点,∴ AO = BO, CO = DO, 在 △AOD 和 △BOC 中, AO=BO ∠AOD= ∠BOC DO=CO{ ,∴ △AOD≌ △BOC( SAS) . 又∵ AD = 38cm,∴ BC=AD= 38cm. 19. (1) 证明:在△AOD 和△BOE 中, ∠A = ∠B,∠AOD = ∠BOE. ∴ ∠BEO= ∠2. 又∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠1 = ∠BEO, ∴ ∠AEC = ∠BED. 在△AEC 和△BED 中,∠A= ∠B,AE =BE,∠AEC= ∠BED,∴ △AEC≌△BED(ASA); (2)解:∵ △AEC≌△BED,∴ EC = ED,∠C = ∠BDE. ∵ EC = ED,∠1 = 42°,∴ △EDC 是等腰三角形. ∴ ∠C = ∠EDC= 69°,∴ ∠BDE= ∠C= 69°. 20. (1)证明:由题意得:AB =BD,∠ABD = 90°,AC⊥CE,DE ⊥CE,∴ ∠BED= ∠ACB = 90°,∴ ∠BDE+∠DBE = 90°, ∠DBE+ ∠ABC = 90°, ∴ ∠BDE = ∠ABC,在△ACB 和 △BED 中, ∠ABC= ∠BDE ∠ACB= ∠BED BD=AB{ ,∴ △ACB≌△BED(AAS); (2)解:由题意得:AC = 5 × 3 = 15( cm),DE = 7 × 5 = 35 (cm),∵ △ACB≌△BED,∴ DE = BC = 35cm,BE = AC = 15cm,∴ EC= EB+BC = AC+DE = 50cm,答:两堵木墙之 间的距离为 50cm. 21. 解:(1)甲同学的方案可行. 理由:由题意得,在△ABO 与 △CDO 中,, OA=OC ∠AOB= ∠COD OB=OD{ , ∴ △ABO ≌ △CDO (SAS),∴ AB=CD,故甲同学的方案可行. ( 2 ) DB ⊥ AC 　 理 由: 在 △DBA 与 △DBC 中, ∠ADB= ∠CDB DB=DB ∠DBA= ∠DBC{ ,∴ △DBA≌△DBC(ASA),∴ AB=CB. 22. 解:(1) ①全等. 理由如下:由题意得,经过 1 秒后 BP = CQ= 1. 5cm. ∵ 点 D 为 AB 的中点,∴ BD = 4. 5cm. 又∵ PC= BC-BP = 4. 5cm,∴ PC = BD. 在△BPD 和△CQP 中, BD=CP ∠B= ∠C BP=CQ{ ,∴ △BPD≌△CQP(SAS); ②∵ vP ≠vQ,∴ BP≠CQ. 则假设△BPD≌△CPQ,又∵ ∠B= ∠C,则 BP = CP = 3cm,BD = CQ = 4. 5cm,∴ t = 3÷ 1. 5 = 2(s),∴ vQ = 4. 5÷2 = 2. 25(cm / s) . (2)24s　 AC 23. 【初步探索】EF=BE+FD 【探索延伸】结论仍然成立,理由如下:如图 2,延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连接 AG, ∵ ∠B + ∠ADC = 180°, 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 8 页 第 14 章追梦基础训练卷 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:150 分　 　 得分: 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项,其中只有一个是正确的. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列叙述中错误的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 能够完全重合的两个图形称为全等形 B. 全等形的形状和大小都相同 C. 所有正方形都是全等形 D. 平移、翻折前后的图形全等 2. 如图,建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板 间钉一根木条, 防止门框变形、 椅子摇晃, 利用了三角形 的(　 　 ) A. 任意两边之和大于第三边 B. 任意两边之差小于第三边 C. 稳定性 D. 三角形三个内角的和为 180° 第 2 题图 　 第 3 题图 　 第 4 题图 3. 如图,已知∠A = ∠D,∠1 = ∠2,要得到△ABC≌△DEF,还应该 添加的条件是(　 　 ) A. ∠E= ∠B B. ED=BC C. AB=EF D. AF=CD 4. 如图,△ABC≌△BAD,A、C 的对应顶点分别为 B、D,如果 AB = 9 cm,BC= 6 cm,AC= 10 cm,那么 BD 的长是(　 　 ) A. 9 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 无法确定大小 5. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨 AB =AC,点 D, E 分别是 AB,AC 的中点,DM,EM 是连接弹簧和伞骨的支架,且 DM= EM,已知弹簧 M 在向上滑动的过程中,总有△ADM≌ △AEM,其判定依据是(　 　 ) A. ASA B. AAS C. SSS D. HL 第 5 题图 　 第 6 题图 　 第 7 题图 6. 学习情境·动手能力 如图,在方格纸中,以 AB 为一边作△ABP, 使之与△ABC 全等,从 P1,P2,P3,P4 四个点中找出符合条件的 点 P,则点 P 有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 7. 如图所示,已知∠1 = ∠2,AB = AD,AE = AC. 若∠B = 20°,则∠D 的度数是(　 　 ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 无法确定 8. 数学思想·分类讨论 已知△ABC 的三边长分别为 5,7,8,△DEF 的三边长分别为 5,2x,3x- 5,若这两个三角形全等,则 x 的值 为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上. 已知左边滑梯 的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等,若 DF = 6 m, DE= 8 m,AD= 4 m,则 BF 等于(　 　 ) A. 18 m B. 16 m C. 12 m D. 10 m 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在四边形 ABCD 中(AB≠BC),AB∥CD,AB =CD,直线 EF 经过四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的交点 O,且分别交 AD、 BC 于点M、N,交 BA、DC 的延长线于点 E、F,下列结论:①BO= OD;②△AOD 的周长-△ODC 的周长 = AD-CD;③AD∥BC;④ S△ABO = 1 2 S四边形ABNM;⑤图中全等的三角形的对数是 9 对;其中 正确结论的个数是(　 　 ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 如图,AB=AC,BD=CD,若∠B= 28°,则∠C= 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 　 　 　 第 12 题图 　 第 13 题图 12. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = 2 cm,CD⊥AB,在 AC 上取一点 E,使 EC=BC,过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于 点 F,若 EF= 5 cm,则 AE= 　 　 　 　 cm. 13. 学科内融合 如图,以△ABC 的顶点 A 为圆心,以 BC 长为半径 作弧;再以顶点 C 为圆心,以 AB 长为半径作弧,两弧交于点 D; 连接 AD、CD. 若∠B= 65°,则∠ADC 的大小为　 　 　 　 °. 14. 如图,在△ABC 中,AD 为中线,过点 B 作 BE⊥AD,交 AD 的延 长线于点 E,过点 C 作 CF⊥AD 于点 F. 在 DA 延长线上取一点 G,连接 GC,使∠G= ∠BAD. (1)若 BE= 2,则 CF= 　 　 　 　 ; (2) S△BDE S△AGC = 　 　 　 　 . 三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 15. 如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,求证: DE=DF. 16. 如图,已知△ABC≌△DEB,点 E 在 AB 上,AC 与 BD 交于点 F, AB= 6,BC= 3,∠C= 55°,∠D= 25°. (1)求 AE 的长度; (2)求∠AED 的度数. 四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 17. 如图,已知 AB∥CF,DE=EF. (1)求证:△ADE≌△CFE; (2)若 AB= 7,CF= 4,求 BD 长. ·31· 18. 如图,∠BAC= ∠CDB= 90°,AB=DC,AC 与 BD 相交于点 E. (1)图中有　 　 　 　 对全等的三角形,请你选择一对全等三角 形,并说明理由; (2)连接 AD,判断 AD 与 BC 的位置关系,并说明理由. 五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分) 19. 新趋势·条件开放 如图,点 A,D,C,F 在同一条直线上,AB = DE,BC=EF. 有下列三个条件:①AC = DF,②∠ABC = ∠DEF, ③∠ACB= ∠DFE. (1)请在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF. 请写出你的证明过程,并填空. 你选取的条件为　 　 　 　 (填写序号,只需选一个条件,多选 不得分),你判定△ABC≌△DEF 的依据是　 　 　 　 (填“SSS” 或“SAS”或“ASA”或“AAS”); (2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF,求证:AB∥DE. 20. 新趋势·项目式学习 某校项目式学习小组开展项目活动,过程 如下: 项目主题:测量某水潭的宽度. 问题驱动:能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度? 组内探究:由于水潭中间不易到达,无法直接测量,需要借助一 些工具来测量,比如自制的直角三角形硬纸板,米尺,测角仪, 平面镜等,甚至还可以利用无人机,确定方法后,先画出测量示 意图,然后进行实地测量,并得到具体数据,从而计算水潭的 宽度. 成果展示:下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案: 方案 方案① 方案② 测量 示意 图 测量 说明 如图,测量员在地面上找 一点 C,在 BC 连线的中 点 D 处做好标记,从点 C 出发,沿着与 AB 平行的 直线向前走到点 E 处,使 得点 E 与点 A、D 在一条 直线上,测出 CE 的长度 如图,测量员在地面上找 一点 C,沿着 BC 向前走 到点 D 处,使得 CD = AC, 沿着 AC 向 前 走 到 点 E 处,使得 CE=BC,测出 D、 E 两点之间的距离 测量 结果 CE=20 m,BD=CD,CE∥AB AC=CD,BC=CE,DE=20 m 请你选择上述两种方案中的一种,计算水潭的宽度 AB. 六、(本题满分 12 分) 21. 如图,在△ABC 中,D 为 BC 的中点,过 D 点的直线 GF 交 AC 于 点 F,交 AC 的平行线 BG 于点 G,DE⊥GF 交 AB 于点 E,连接 EG,EF. (1)求证:BG=CF; (2)请你猜想 BE+CF 与 EF 的大小关系,并说明理由. 七、(本题满分 12 分) 22. 小球悬挂处 O 点到地面 l 的距离是 4 米,小球从静止状态 P 处 开始摆动,摆动到最高点 A 时,测得 A 到 OP 的距离为 3 米,距 离地面 2. 3 米. (1)求小球摆动到垂直于 OA 位置时 A′到 OP 的距离; (2)求 A′到地面的距离,写出必要的推理过程. 八、(本题满分 14 分) 23. 如图 1,△ABC 中,AB=BC,点 D 在边 BC 上,CD=CA,连接 AD, ∠CAE= ∠BAD,AE 交 BC 的延长线于点 E. (1)求证 AD=AE; (2)如图 2,在图 1 的基础上延长 CA 到 F,使 AF=CE,连接 DF 交边 AB 于点 G,探究线段 AG,AC 之间的数量关系,并证明. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 ·41·