2017秋沪科版八年级数学上册第十四章练习专训一：四种常见的几何关系的探究

专训一：四种常见的几何关系的探究 名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此还可以获得直线之间的垂直(平行)关系，线段(面积)的和、差、倍、分关系． 位置关系 1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN. (第1题) 相等关系 2．(2015·珠海)已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF. (1)如图①，连接BD，AF，则BD________AF.(填“＞”，“＜”或“＝”号) (2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF.求证：BH＝GF. (第2题) 和差关系 3．如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明． (第3题) 倍数关系 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝∠A，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于点E，F. 当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时，如图①，易证S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明． (第4题) 答案 [来源:学科网] 专训一 1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.∴∠1＝∠2.又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA.∴∠3＝∠N. ∵∠N＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.∴AM⊥AN. (第1题) 　　(第2题) [来源:Z,xx,k.Com] 2．(1)＝ (2)证明：将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R，如图， ∵MN∥BC，RC∥EH， ∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB， 易得∠GRC＝∠RGC，过点C作CZ⊥GR，∴∠CZR＝∠CZG＝90°， 又∵CZ＝CZ，∴△CZR≌△